P 进数

p进数
术语名称	p进数
英语名称	p-adic number
别名	p-进数

[math]\displaystyle{ p }[/math]-进数([math]\displaystyle{ p }[/math]-adic numbers)指是有理数除实数外的另一种完备化，其中数 [math]\displaystyle{ p }[/math] 通常取质数以得到较好的性质。在 [math]\displaystyle{ p }[/math] 进数系中， Cauchy 序列不是按照绝对值收敛，而是按照离散的 [math]\displaystyle{ p }[/math] 进绝对值收敛。

由于技术原因，标题首字母会被大写。这一术语通常应当以小写字母开头。

其基于有理数扩展，公理化形式是p 进数的构造，是有理数的一个具有完备性的扩展，也是在 [math]\displaystyle{ p }[/math] 进绝对值作为度量下的唯一的完备扩展。

其集合为 [math]\displaystyle{ p }[/math] 进有理数集 [math]\displaystyle{ \mathbb{Q}_p }[/math] 。其上的加法、减法、乘法封闭，若 [math]\displaystyle{ p }[/math] 是质数，则除数非零的除法也是良定义的封闭运算，且完备。

[math]\displaystyle{ p }[/math] 进数是完备的，收敛的序列总是收敛在某个 [math]\displaystyle{ p }[/math] 进数上。由于度量是离散的，最后必须相邻项的差必然收敛到 0 ，并且保持某个特定的 [math]\displaystyle{ p }[/math] 进绝对值。

由于和绝对值定义相比，其距离定义中越是无限远处约接近 0 ，越接近原点则越大，收敛点都在环状的位置，其可以表示为类似 [math]\displaystyle{ p }[/math] 进制的展开方式，但是向左侧无限远处延伸，见 [[[math]\displaystyle{ p }[/math] 进数的无限循环小数定理]]。

数系
自然数	整数	有理数	规矩数	代数数	……
实数	复数	四元数	八元数	……
扩展自然数	扩展实数	扩展复数	……
基数	序数	……