逻辑蕴涵
| 逻辑蕴涵 | |
|---|---|
| 术语名称 | 逻辑蕴涵 |
| 英语名称 | logical implication |
逻辑蕴涵(logical implication)指两个谓词公式或一组谓词公式和另一个谓词公式之间，在所有可能的赋值下，若赋值满足前一个公式或这组公式则必满足后一个公式。
逻辑蕴涵是形式语言中根据形式可以用于推断的关系，在不同的语言及其模型中，与实质蕴涵的关系是模型论的重要讨论内容。
定义
| 逻辑蕴涵 | |
|---|---|
| 关系名称 | 逻辑蕴涵 |
| 关系符号 | [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math],[math]\displaystyle{ \vDash }[/math] |
| Latex | \Rightarrow, \vDash
|
| 关系对象 | 谓词公式 |
| 关系元数 | 2 |
| 类型 | 偏序 |
对两个谓词公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math] ，其中有个体变项均为 [math]\displaystyle{ x_1,x_2,\dots,x_n }[/math] ，若对任意指派 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ \sigma \vDash A }[/math] 则 [math]\displaystyle{ \sigma \vDash B }[/math] ，则称谓词公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 逻辑蕴涵(logically imply) [math]\displaystyle{ B }[/math] ，记作 [math]\displaystyle{ A \Rightarrow B }[/math] 或 [math]\displaystyle{ A \vDash B }[/math] 。此时也称 [math]\displaystyle{ A }[/math] 为 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的逻辑前提， [math]\displaystyle{ B }[/math] 为 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的逻辑后承。
这一定义也推广为命题集合 [math]\displaystyle{ A_1,\cdots,A_n }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的情况，此时记作 [math]\displaystyle{ A_1, \dots, A_n \Rightarrow B }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \Gamma \vDash B }[/math] ，也称 [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] 为 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的逻辑前提, [math]\displaystyle{ B }[/math] 为 [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] 的逻辑后承。特别地 [math]\displaystyle{ \varnothing\vDash B }[/math] 通常记作 [math]\displaystyle{ \vDash B }[/math] 。
| ⊨ | |
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| 字符 | ⊨ |
| Unicode码位 | U+22A8 True, Is a Tautology, Satisfies, Results in
|
| Latex命令序列 | \vDash
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性质
- 在允许命题变量或零元谓词的讨论场景中，若将命题公式的符号嵌入谓词公式的子集，此时谓词公式间的逻辑蕴含关系相当于命题公式的重言蕴涵关系。
- 谓词公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 逻辑蕴涵 [math]\displaystyle{ B }[/math] ，当且仅当条件命题 [math]\displaystyle{ A \rightarrow B }[/math] 为有效式。
- 命题公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 逻辑蕴涵 [math]\displaystyle{ B }[/math] ，当且仅当条件命题 [math]\displaystyle{ A \rightarrow B }[/math] 为永真式。