谓词公式

谓词公式
术语名称	谓词公式
英语名称	predicate formula
别名	谓词合式公式, predicate well-formed formula, 合式公式, well-formed formula, WFF, 公式, formula

谓词公式(predicate formula)是谓词语言中的合式公式， 由个体词、函项、谓词、量词、逻辑联结词和括号按照特定语法规则构成的符号串。

定义

谓词语言公式集 [math]\displaystyle{ \mathrm{Form}(\mathcal{L}^*) }[/math] 中的元素称为谓词合式公式(predicate well-formed formula)，简称合式公式(well-formed formula，缩写为WFF)或谓词公式(predicate formula)，或简称公式(formula)，是通过以下规则递归定义的符号串：

1. 原子公式：谓词和项构成的原子公式是谓词公式；
2. 复合公式：
   • 若 [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] 是谓词公式，则 [math]\displaystyle{ \lnot\varphi }[/math] 是谓词公式；
   • 若 [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \psi }[/math] 是谓词公式，则 [math]\displaystyle{ (\varphi \land \psi) }[/math] 、 [math]\displaystyle{ (\varphi \lor \psi) }[/math] 、 [math]\displaystyle{ (\varphi \rightarrow \psi) }[/math] 、 [math]\displaystyle{ (\varphi \leftrightarrow \psi) }[/math] 是谓词公式。
   • 若 [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] 是谓词公式、 [math]\displaystyle{ x }[/math] 是个体变项，则 [math]\displaystyle{ \forall x \varphi }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \exists x \varphi }[/math] 是谓词公式。
3. 仅有限次应用规则 1 和 2 所得到的符号串是谓词公式。

为简化书写，通常省略最外层括号，并规定逻辑联结词的优先级从高到低为 [math]\displaystyle{ \lnot \forall \exists, \land, \lor, \rightarrow, \leftrightarrow }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ \land,\lor }[/math] 左结合。

注：

• 有些定义不提及命题常量。
• 有些定义中命题常量被归入命题变元。
• 有些定义包含真值常量真和假。
• 有些定义将真值常量视为零元联结词。

注意：谓词公式中由于可以含有个体变元的自由出现，通常不能确认其真值，因此谓词公式不是命题。

谓词公式的分类

主条目：谓词公式分类

谓词逻辑/一阶逻辑
命题结构	项	个体词（个体常项、个体变项）、论域/个体域、函项、项、闭项
	谓词	谓词（谓词常项、谓词变项）
	量词	量词（辖域、出现）、全称量词 [math]\displaystyle{ \forall }[/math] 、存在量词 [math]\displaystyle{ \exists }[/math]
谓词公式	形式定义	谓词语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}^* }[/math] 、谓词公式、闭式
	逻辑语义	结构、指派/赋值、基本语义定义、解释、满足、模型
	语义分类	普遍有效公式、可满足式、不可满足式
	语义关系	逻辑等值/逻辑等价 [math]\displaystyle{ = }[/math]/[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] 、逻辑蕴涵 [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]
	范式	前束范式、 Skolem 范式
	个体变项代入	可自由代入、易字、简单易字变形、易字变形
	命题变元代入	置换定理