命题公式分类：修订间差异

2025年12月27日 (六) 13:04的最新版本

重言式
术语名称	重言式
英语名称	tautology
别名	永真式

偶然式
术语名称	偶然式
英语名称	contingency
别名	仅可满足式, 可真可假式

矛盾式
术语名称	矛盾式
英语名称	contradiction
别名	永假式, 不可满足式, unsatisfiable formula

可满足式
术语名称	可满足式
英语名称	satisfiable formula

根据命题公式在全部解释下的真值行为，可以将命题公式分为重言式(tautology)、偶然式(contingency)、矛盾式(contradiction)三大类；或者分为可满足式(satisfiable formula)和不可满足式(unsatisfiable formula)两大类。

分类

重言式

重言式(tautology)/永真式，指在所有解释中，一个命题公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 的真值都为真。此时任意指派 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] 都满足这一公式，即 [math]\displaystyle{ \sigma\vDash\phi }[/math] ，记作 [math]\displaystyle{ \vDash \phi }[/math] 。

偶然式

偶然式(contingency)/仅可满足式/可真可假式，指在所有解释中，一个命题公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 的真值在有些解释下为真，在有些解释下为假。

矛盾式

矛盾式(contradiction)/永假式/不可满足式，指在所有解释中，一个命题公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 的真值都为假。此时任意指派 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] 都不满足这一公式 [math]\displaystyle{ \sigma\nvDash\phi }[/math] ，或者说满足这一命题公式的否定 [math]\displaystyle{ \sigma\nvDash\lnot\phi }[/math] ，记作 [math]\displaystyle{ \vDash \lnot\phi }[/math] 。

可满足性分类

可满足性

可满足性(satisfiability)指对一个命题公式“存在满足这个命题公式的指派”这一性质，即“至少在一个解释中真值为真”。

可满足式

可满足式(satisfiable formula)或可真式，是至少在一个解释中真值为真的命题公式。包括重言式和偶然式。

不可满足式

不可满足式(unsatisfiable formula)指在所有解释中都真值为假的命题公式。与矛盾式为同义词。

其他

可假式

可假式指至少在一个解释中真值为假的命题公式。包括偶然式和矛盾式。

命题逻辑/零阶逻辑
基本概念	命题	命题、命题变元、命题常量
基本概念	真值	真 [math]\displaystyle{ \mathrm{T} }[/math]/[math]\displaystyle{ 1 }[/math]/[math]\displaystyle{ \top }[/math] 、假 [math]\displaystyle{ \mathrm{F} }[/math]/[math]\displaystyle{ 0 }[/math]/[math]\displaystyle{ \bot }[/math]
命题结构	命题结构	原子命题、复合命题
	逻辑联结词	否定（非） [math]\displaystyle{ \lnot }[/math] 、合取（且/与） [math]\displaystyle{ \land }[/math] 、析取（或） [math]\displaystyle{ \lor }[/math]
	逻辑联结词	蕴涵（推出） [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math] 、等价（当且仅当） [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]
命题公式	形式定义	命题语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_0 }[/math] 、命题公式
	逻辑语义	指派、 Tarski 真理定义、解释、真值表、满足
	语义分类	重言式/永真式、偶然式/仅可满足式/可真可假式、矛盾式/永假式/不可满足式
	语义关系	重言等价/等值/等价 [math]\displaystyle{ = }[/math]/[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] 、重言蕴涵 [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]
	范式	析取范式、合取范式（主析取范式、主合取范式）

琐事

命名

英语 “tautology” 一词，来自古希腊语 “ταὐτολογῐ́ᾱ tautologĭ́ā” ，原为修辞学术语，指用不同词语或表达重复相同含义，或语义重复的冗余修辞，后来进入哲学的逻辑学中，并进一步借用到数学上。^[1] 因此中文译者取“重复地说，反复地说”的意思，译为“重（chóng）言”^[2]。

此外，这个翻译与《庄子》“以卮言为曼衍，以重言为真，以寓言为广”一句中的“重言”（读作 zhòng 言，指值得尊重者之言）同形纯属巧合，词源无关。不可以因为词典中有这个同形词产生读音错误。

[1] ttps://en.wikipedia.org/wiki/Tautology_(logic)

[2] 为什么永真式也叫重言式，重言式这个名字是怎么取出来的？ - 妙面包爸谈三视角的回答 - 知乎

[1]

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+根据[[命题公式]]在全部[[解释（命题逻辑）|解释]]下的[[真值]]行为，可以将命题公式分为'''重言式'''('''tautology''')、'''偶然式'''('''contingency''')、'''矛盾式'''('''contradiction''')三大类；或者分为'''可满足式'''('''satisfiable formula''')和'''不可满足式'''('''unsatisfiable formula''')两大类。
+== 分类 ==
+=== 重言式 ===
+'''重言式'''('''tautology''')/'''永真式'''，指在所有解释中，一个命题公式 <math>\phi</math> 的真值都为真。
+此时任意[[指派（命题逻辑）|指派]] <math>\sigma</math> 都[[满足（命题逻辑）|满足]]这一公式，即 <math>\sigma\vDash\phi</math> ，记作 <math>\vDash \phi</math> 。
+=== 偶然式 ===
+'''偶然式'''('''contingency''')/'''仅可满足式'''/'''可真可假式'''，指在所有解释中，一个命题公式 <math>\phi</math> 的真值在有些解释下为真，在有些解释下为假。
+=== 矛盾式 ===
+'''矛盾式'''('''contradiction''')/'''永假式'''/'''不可满足式'''，指在所有解释中，一个命题公式 <math>\phi</math> 的真值都为假。
+此时任意指派 <math>\sigma</math> 都不满足这一公式 <math>\sigma\nvDash\phi</math> ，或者说满足这一命题公式的否定 <math>\sigma\nvDash\lnot\phi</math> ，记作 <math>\vDash \lnot\phi</math> 。
+== 可满足性分类 ==
+=== 可满足性 ===
+'''可满足性'''('''satisfiability''')指对一个命题公式“存在满足这个命题公式的指派”这一性质，即“至少在一个解释中真值为真”。
+=== 可满足式 ===
+'''可满足式'''('''satisfiable formula''')或'''可真式'''，是至少在一个解释中真值为真的命题公式。包括重言式和偶然式。
+=== 不可满足式 ===
+'''不可满足式'''('''unsatisfiable formula''')指在所有解释中都真值为假的命题公式。与矛盾式为同义词。
+== 其他 ==
-根据[[命题公式]]在全部[[解释（命题逻辑）|解释]]下的[[真值]]，可以将命题公式分为以下几类。
+=== 可假式 ===
-* '''重言式'''('''tautology''')/'''永真式'''：任何解释下，命题公式的真值都为真。即，任意[[指派（命题逻辑）|指派]]都[[满足（命题逻辑）|满足]]这一命题公式 <math>\phi</math> ，记作 <math>\vDash \phi</math> 。
-* '''偶然式'''('''contingency''')/'''仅可满足式'''/'''可真可假式'''：命题公式有些解释为真，有些解释下为假。
-* '''矛盾式'''('''contradiction''')/'''永假式'''/'''不可满足式'''：任何解释下，命题公式的真值都为假。即，任意[[指派（命题逻辑）|指派]]都[[满足（命题逻辑）|满足]]这一命题公式的否定 <math>\lnot\phi</math> ，即 <math>\vDash \lnot\phi</math> 。
-此外，是否非矛盾式也被称为命题公式是否'''可满足'''('''satisfiable''')，即前两者称为'''可满足式'''或'''可真式'''、矛盾式称为'''不可满足式'''。同样地，是否非重言式也被称为'''可假式'''。
+'''可假式'''指至少在一个解释中真值为假的命题公式。包括偶然式和矛盾式。
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 === 命名 ===
-英语 tautology 一词，来自希腊语<span lang="grc">ταυτολογία</span>，本身是一个修辞，指换一种说法进行重复，或语义重复的冗余修辞，后来进入哲学的逻辑学的概念，并进一步借用到数学上。<ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Tautology_(logic)</ref>
+英语 “tautology” 一词，来自古希腊语 “{{Grc|ταὐτολογῐ́ᾱ|tautologĭ́ā}}” ，原为修辞学术语，指用不同词语或表达重复相同含义，或语义重复的冗余修辞，后来进入哲学的逻辑学中，并进一步借用到数学上。<ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Tautology_(logic)</ref>
-因此本身取这个词本身的“重复地说，反复地说”的意思，故译为“重（ch&oacute;ng）言”<ref>[https://www.zhihu.com/question/35475124/answer/2856195578 为什么永真式也叫重言式，重言式这个名字是怎么取出来的？ - 妙面包爸谈三视角的回答 - 知乎]</ref>。
+因此中文译者取“重复地说，反复地说”的意思，译为“重（ch&oacute;ng）言”<ref>[https://www.zhihu.com/question/35475124/answer/2856195578 为什么永真式也叫重言式，重言式这个名字是怎么取出来的？ - 妙面包爸谈三视角的回答 - 知乎]</ref>。
-此外，这个翻译与《庄子》“以卮言为曼衍，以重言为真，以寓言为广”一句中的“重言”词形相同纯属巧合。
+此外，这个翻译与《庄子》“以卮言为曼衍，以重言为真，以寓言为广”一句中的“重言”（读作 zhòng 言，指值得尊重者之言）同形纯属巧合，词源无关。不可以因为词典中有这个同形词产生读音错误。
-这句话中“重言”一词，通常解作值得敬重的人的话，读作重（zh&ograve;ng）言，但也有一说是指反复地说，读作重（ch&oacute;ng）言。
-<ref>[https://hanyu.baidu.com/zici/s?wd=%E9%87%8D%E8%A8%80#detailmean 重言_词语_百度汉语]
-<blockquote>《庄子·寓言》：“寓言十九，重言十七。” 成玄英 疏：“重言，长老乡閭尊重者也。” 陆德明 释文：“重言，谓为人所重者之言也。” 王先谦 集解：“其( 庄子 )託为 神农 、 黄帝 、 尧 、 舜 、 孔 、 颜 之类，言足为世重者，又十有其七。”一说反复言之。 郭庆藩 集释引 郭嵩焘 曰：“重，当为直容切。《广韵》：重，复也。 庄生 之文，注焉而不穷，引焉而不竭者是也。” 宋 司马光 《酬胡侍讲先生瑗字翼之见寄》诗：“常恐负吹嘘，终为重言累。”</blockquote>
-</ref>