序数：修订间差异

2025年10月29日 (三) 17:18的版本

序数
术语名称	序数
英语名称	ordinal number
别名	ordinal

序数(ordinal number)指用于表示良序集在序同构下等价类（序型）的数，是自然数的推广。

有限良序集合中序的结构完全由元素个数确定，对应于自然数，称为有限序数；无限良序集的序结构不是自然数，称为超限序数。一种常见的序数构造为 von Neumann 序数。

区别于基数。基数衡量集合大小，序数刻画集合顺序结构。

定义

良序集被序同构划分为等价类，等价类可以通过扩展自然数表示，称为序数(ordinal number, 简称 ordinal)。两个良序集有相同的序数当且仅当它们序同构。

特征与生成

作为良序关系等价类的代表选取，序数不是只有一种构造方式，但需要其能够不重复、不遗漏地代表良序在序同构下的等价类。

考虑任意良序集，可以分为三种情况：

空集：没有元素。
有最大元：从良序集中去掉最大元，仍然是一个良序，相当于是在一个序数上求后继。
非空且无最大元：选择其任意真前段，都是良序，而且相同结构的无最大元情况有对应结构的真前段，可通过所有真前段序型定义这一序型。

因此，通过以下方式生成的序数可以覆盖任意良序集的可能构造：

递推起点：空集的序型。
对每个序数 [math]\displaystyle{ x }[/math] 可以取后继 [math]\displaystyle{ S(x) }[/math] ；
对序数构成的良序序列 [math]\displaystyle{ \{\alpha_i\}_{i \in I} }[/math] 可以取上确界 [math]\displaystyle{ \sup_{i \in I} \alpha_i }[/math] 。也称极限。

其中后继和上确界都“大于”其基于的其他序数。

后继序数
术语名称	后继序数
英语名称	successor ordinal

极限序数
术语名称	极限序数
英语名称	limit ordinal

通过取后继得到的序数称为后继序数(successor ordinal)，通过对无最大值的序列取上确界得到的序数称为极限序数(limit ordinal)。

von Neumann 序数

von Neumann 序数是在正则公理下，通过以下方式构造出的序数。

空集的序型表示为 [math]\displaystyle{ 0=\varnothing }[/math] ：
后继序数 [math]\displaystyle{ S(a) = a \cup \{a\} }[/math] ；
极限序数 [math]\displaystyle{ \sup A = \bigcup A }[/math] 。

并定义序数上的序 [math]\displaystyle{ \leq }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ a\leq b\leftrightarrow a\subseteq b }[/math] 。（需注意，全体序数是一个真类，这是真类上的序，不能默认为集合上）

性质

良序性：所有序数间有一个良序。
完备性：任何序数集合都有上确界。
von Neumann 序数构造是传递性的集合，或称传递集： [math]\displaystyle{ x\in y, y\in z \rightarrow x\in z }[/math] 。
三歧性： [math]\displaystyle{ x\in y, x=y, y\in x }[/math] 有且仅有一个成立。
后继运算：任何序数有唯一后继。
极限运算：任何无最大元的序数序列都有极限。
超限归纳法
超限递归：可以通过初始元素、后继序数对前趋元素的依赖、极限序数与小于其的元素的依赖递归地定义函数。

重要类型

有限序数(finite ordinal)：自然数 [math]\displaystyle{ 0,1,2,3,\cdots }[/math] ，代表对应个元素的良序。
可数序数(countable ordinal)：指序数中涉及的集合与自然数集能够建立双射（等势）。
- 第一个超限序数 [math]\displaystyle{ \omega }[/math] ：超过全体自然数的第一个序数，是自然数集本身的序结构。
- 自然数上可以存在其他序结构，比如全体偶数后接全体奇数，这里 1 没有前趋元素。自然数中除最小元外不存在一个没有前趋的元素，因此结构不同。
- [math]\displaystyle{ \varepsilon_0 }[/math] ：满足 [math]\displaystyle{ \omega^\alpha=\alpha }[/math] 的第一个序数。
不可数序数：序数中涉及的集合是无法与自然数集建立双射的无限集。
- 第一个不可数序数 [math]\displaystyle{ \omega_1 }[/math] ：最小的不可数序数。
初始序数(initial ordinal)：不与更小的序数等势的序数。

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 |aliases=ordinal
 }}
-'''序数'''('''ordinal number''')指给定一个标准集合与其他集合进行保持顺序的一一对应。
+'''序数'''('''ordinal number''')指用于表示[[良序集]]在[[序同构]]下[[等价类]]（[[序型]]）的数，是自然数的推广。
-序数用自然数（'''有限序数'''）衡量有限良序集合中元素的顺序，用后续的序数（'''超限序数'''）衡量无限良序集合中的“无穷”的顺序。区别于[[基数]]。
+有限良序集合中序的结构完全由元素个数确定，对应于[[自然数]]，称为'''有限序数'''；无限良序集的序结构不是自然数，称为'''超限序数'''。一种常见的序数构造为 [[von Neumann 序数]]。
-== 记号 ==
+区别于[[基数]]。基数衡量集合大小，序数刻画集合顺序结构。
-按照 von Neumann 的自然数构造，即 <math>0=\varnothing, S(a)=a\cup \{a\}</math> ，并有序 <math>a<b \leftrightarrow a\in b</math> ，此时总是有两种构造下一个序数的方式：
+== 定义 ==
-* '''后继序数'''：当存在当前序数集合最后一个序数时，这个序数的后继必然后序于已经有的序数，即 <math>(\forall a)( a<a')</math> 。
-* '''极限序数'''：当当前序数集合是无限的且没有最大元素时，可构造这些序数的上确界为全体元素的广义并。记序数集合 <math>A = \{0,1,\cdots\}</math> 没有最大元素，则其广义并 <math>\bigcup A</math> 满足 <math>(\forall a \in A) (a < \bigcup A)</math> 。
-这种序上的上确界是后继对于无限个元素的扩展。
-现在定义一种有良序的数，反过来类似倒计时地进行某种可跳步的状态，任何一个自然数可以到达小于它的自然数的状态。任何一个自然数都后序于任意小于它的自然数，但是若存在一个状态接下来允许数任意自然数，这就是全体自然数后的序数，这里就遇到了第一个不属于自然数的集合。这个集合是一个极限序数，自然数集上的广义并 <math>\bigcup\mathbb{N}</math> ，其必然后序于全体自然数。尽管这一广义并是自然数集 <math>\mathbb{N}</math> 本身，作为序数时，记这一序数为 <math>\omega</math> <ref>一般来说， <math>\mathbb{N}</math> 指集合，而 <math>\omega</math> 指序型，应当区分使用两个记号。</ref>，也记作 <math>\omega_0</math>。
+良序集被序同构划分为等价类，等价类可以通过扩展自然数表示，称为'''序数'''('''ordinal number''', 简称 '''ordinal''')。两个良序集有相同的序数当且仅当它们序同构。
-与自然数序数相区别，，从这一序数起，称为'''超限序数'''。
-类似于自然数中所有数都有后继，序数 <math>\omega</math> 也存在后继 <math>\omega+1 > \omega</math> 。对应状态就是下一步允许走到 <math>\omega</math> 状态。以此类推，有 <math>\omega+2,\omega+3,\cdots</math> 。
+== 特征与生成 ==
-考虑到是 1 后下降到 <math>\omega</math> ，这里的 <math>\omega+1</math> 表示正过来数时先“数完”了自然数后再数 1 （注意下，前面状态的例子里是倒数的，所以 1 后到 <math>\omega</math> ，正数的顺序就是反过来的先自然数再 1 ），所以不能写作 <math>1+\omega</math> ，后者的顺序可以理解成先数一个 1 再从 0 开始数全部自然数，仅仅相当于把所有的编号都进行了一次错位地“数遍”了自然数，也就是说 <math>1+\omega=\omega</math> 。这里加法无法交换，[[加法]] <math>a+b</math> 表示“在数完 <math>a</math> 后再数 <math>b</math> ”，也就是“将 <math>b</math> 加到 <math>a</math> 上”的定义，可以称这里的 <math>a</math> 为被加数， <math>b</math> 为加数。
+作为良序关系等价类的代表选取，序数不是只有一种构造方式，但需要其能够不重复、不遗漏地代表良序在序同构下的等价类。
-类似地，序列 <math>\omega,\omega+1,\omega+2,\cdots</math> 存在上确界，对应被加数不变，加数把自然数“数遍”之后的序数，也就是 <math>\omega+\omega</math> ，记作 <math>\omega\times 2</math> 或 <math>\omega\cdot 2</math> 。这里乘法无法交换，[[乘法]] <math>a\times b</math> 表示“将数完 <math>a</math> 的动作重复 <math>b</math> 次”，也就是“重复 <math>b</math> 次的 <math>a</math> 相加”的定义，可以称这里的 <math>a</math> 为被乘数， <math>b</math> 为乘数。在这一定义下，用 <math>\omega\times 2</math> 表示  <math>\omega,\omega+1,\omega+2,\cdots</math> 后的极限序数，也就是“数遍”自然数两次，而记号 <math>2\omega</math> 是两个两个地数，并“数遍”自然数次，也就是 <math>2\times 0,2\times 1,2\times 2,\cdots</math> 这个非负偶数列之后的极限序数，非负偶数和自然数之间存在双射，因此后面的极限序数也就是 <math>\omega</math> 本身了。
+考虑任意良序集，可以分为三种情况：
+* [[空集]]：没有元素。
+* 有[[最大元]]：从良序集中去掉最大元，仍然是一个良序，相当于是在一个序数上求后继。
+* 非空且无最大元：选择其任意真前段，都是良序，而且相同结构的无最大元情况有对应结构的真前段，可通过所有真前段序型定义这一序型。
-继续进行后继，则有 <math>\omega\times2,\omega\times2+1,\omega\times2+2,\cdots</math> ，最终“数遍”全体自然数到达极限序数 <math>\omega\times 2+\omega</math> ，记作 <math>\omega\times 3</math> 。以此类推。
+因此，通过以下方式生成的序数可以覆盖任意良序集的可能构造：
+* 递推起点：空集的序型。
+* 对每个序数 <math>x</math> 可以取后继 <math>S(x)</math> ；
+* 对序数构成的良序序列 <math>\{\alpha_i\}_{i \in I}</math> 可以取上确界 <math>\sup_{i \in I} \alpha_i</math> 。也称极限。
+其中后继和上确界都“大于”其基于的其他序数。
-类似地，序列 <math>\omega,\omega\times 2,\omega\times 3,\cdots</math> 存在上确界，对应被乘数不变，乘数把自然数“数遍”之后的序数，也就是 <math>\omega\times\omega</math> ，记作 <math>\omega^2</math> 。这里[[乘方]]类似正常定义， <math>a^b</math> 表示“重复 <math>b</math> 次 <math>a</math> 相乘”。
+{{InfoBox
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+{{InfoBox
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+}}
+通过取后继得到的序数称为'''后继序数'''('''successor ordinal''')，通过对无最大值的序列取上确界得到的序数称为'''极限序数'''('''limit ordinal''')。
-继续进行后继，则有 <math>\omega^2,\omega^2+1,\omega^2+2,\cdots</math> ，最终“数遍”全体自然数到达极限序数 <math>\omega^2+\omega</math> 。然后是 <math>\omega^2+\omega+1,\omega^2+\omega+2,\omega^2+\omega+3,\cdots</math> ，然后到达极限序数 <math>\omega^2+\omega+\omega=\omega^2+\omega\times2</math> 。以此类推有序列 <math>\omega^2 +\omega\times3,\omega^2 +\omega\times4,\omega^2 +\omega\times5\cdots</math> ，最后的极限序数是 <math>\omega^2 +\omega\times\omega=\omega^2+\omega^2</math> ，按上述乘法定义记作 <math>\omega^2\times 2</math> 。继续取后继 <math>\omega^2\times2 +1</math> 开始，得到极限序数 <math>\omega^2\times2+\omega,\omega^2\times2+\omega\times 2,\omega^2\times2+\omega\times 3\cdots</math> ，并进一步得到极限序数 <math>\omega^2\times2+\omega\times\omega=\omega^2\times 3</math> ，重复此流程得到 <math>\omega^2\times4,\omega\times 5,\omega^2\times 6</math> 等，得到极限序数 <math>\omega^2\times\omega</math> ，记作 <math>\omega^3</math> ，以此类推。
+== von Neumann 序数 ==
-重复以上流程取后继和极限，会得到序列 <math>\omega,\omega^2,\omega^3,\cdots</math> ，再后面极限序数就称为 <math>\omega^\omega</math> 。
+von Neumann 序数是在[[正则公理]]下，通过以下方式构造出的序数。
+* 空集的序型表示为 <math>0=\varnothing</math> ：
+* 后继序数 <math>S(a) = a \cup \{a\}</math> ；
+* 极限序数 <math>\sup A = \bigcup A</math> 。
+并定义序数上的序 <math>\leq</math> 满足 <math>a\leq b\leftrightarrow a\subseteq b</math> 。（需注意，全体序数是一个[[真类]]，这是真类上的序，不能默认为集合上）
-重复此流程增加指数上的数值，即不断地从 <math>\omega^\omega+1</math> 的序列到 <math>\omega^\omega\times 2</math> 的序列，到 <math>\omega^\omega\times \omega</math> ，也就是 <math>\omega^{\omega+1}</math> 。因此类似地可以继续构造出 <math>\omega^{\omega\times2}</math> 和 <math>\omega^{\omega^2}</math> ，以至于 <math>\omega^{\omega^\omega}</math> 。
+== 相关关系和运算 ==
-继续重复次流程，则 <math>\omega,\omega^\omega,\omega^{\omega^\omega},\cdots</math> 构成序列（这里一般不写成[[幂塔]]，如果写成的话仍然对应自然数），最后极限序数是 <math>\omega^{\omega^{\omega^{\dots^{\dots^{\cdots}}}}}</math> ，记作 <math>\epsilon</math> 或 <math>\epsilon_0</math> ，是满足 <math>\epsilon = \omega^\epsilon</math> 的最小序数。
+{{RelatedToType}}
-类似地，可以通过 <math>\omega</math> 不断地迭代得到新的序数。序数是通过保证顺序的方式构造，考虑打乱顺序的对应关系，总是可以以某种方式构造出与自然数的双射，也就是不改变集合的[[基数]]，因此这些序数都称为'''可数序数'''。而全体可数序数构成的序数只可能是比全体序数更大的序数，称为第一级不可数序数，记作 <math>\omega_1</math> 或 <math>\Omega</math> 。由于可数个可数集的并集可数， <math>\omega_1</math> 一定无法通过以上递归生成的方式得到，称为'''不可数序数'''。根据不可数集和可数集间无法建立双射的定理，可以说明在这一级上对应的基数发生了变化。以此类推，在超限序数开始，基数发生变化的序数依次记作 <math>\omega_0,\omega_1,\omega_2,\omega_3,\cdots</math> ，称这些序数为'''初始序数'''。
+== 性质 ==
+* 良序性：所有序数间有一个良序。
+* 完备性：任何序数集合都有上确界。
+* von Neumann 序数构造是传递性的集合，或称传递集： <math>x\in y, y\in z \rightarrow x\in z</math> 。
+* [[三歧性]]： <math>x\in y, x=y, y\in x</math> 有且仅有一个成立。
+* 后继运算：任何序数有唯一后继。
+* 极限运算：任何无最大元的序数序列都有极限。
+* [[超限归纳法]]
+* 超限递归：可以通过初始元素、后继序数对前趋元素的依赖、极限序数与小于其的元素的依赖递归地定义函数。
+== 重要类型 ==
+* '''有限序数'''('''finite ordinal''')：自然数 <math>0,1,2,3,\cdots</math> ，代表对应个元素的良序。
+* '''可数序数'''('''countable ordinal''')：指序数中涉及的集合与[[自然数集]]能够建立双射（[[基数|等势]]）。
+** [[第一个超限序数]] <math>\omega</math> ：超过全体自然数的第一个序数，是[[自然数集]]本身的序结构。
+** 自然数上可以存在其他序结构，比如全体偶数后接全体奇数，这里 1 没有前趋元素。自然数中除最小元外不存在一个没有前趋的元素，因此结构不同。
+** <math>\varepsilon_0</math> ：满足 <math>\omega^\alpha=\alpha</math> 的第一个序数。
+* '''不可数序数'''：序数中涉及的集合是无法与自然数集建立双射的无限集。
+** [[第一个不可数序数]] <math>\omega_1</math> ：最小的不可数序数。
+* '''初始序数'''('''initial ordinal''')：不与更小的序数等势的序数。

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