序数

序数
术语名称	序数
英语名称	ordinal number
别名	ordinal

序数(ordinal number)指用于表示良序集在序同构下等价类（序型）的数，是自然数的推广。

有限良序集合中序的结构完全由元素个数确定，对应于自然数，称为有限序数；无限良序集的序结构不是自然数，称为超限序数。一种常见的序数构造为 von Neumann 序数。

区别于基数。基数衡量集合大小，序数刻画集合顺序结构。

定义

良序集被序同构划分为等价类，等价类可以通过扩展自然数表示，称为序数(ordinal number, 简称 ordinal)。两个良序集有相同的序数当且仅当它们序同构。

特征与生成

作为良序关系等价类的代表选取，序数不是只有一种构造方式，但需要其能够不重复、不遗漏地代表良序在序同构下的等价类。

考虑任意良序集，可以分为三种情况：

• 空集：没有元素。
• 有最大元：从良序集中去掉最大元，仍然是一个良序，相当于是在一个序数上求后继。
• 非空且无最大元：选择其任意真前段，都是良序，而且相同结构的无最大元情况有对应结构的真前段，可通过所有真前段序型定义这一序型。

因此，通过以下方式生成的序数可以覆盖任意良序集的可能构造：

• 递推起点：空集的序型。
• 对每个序数 [math]\displaystyle{ x }[/math] 可以取后继 [math]\displaystyle{ S(x) }[/math] ；
• 对序数构成的良序序列 [math]\displaystyle{ \{\alpha_i\}_{i \in I} }[/math] 可以取上确界 [math]\displaystyle{ \sup_{i \in I} \alpha_i }[/math] 。也称极限。

其中后继和上确界都“大于”其基于的其他序数。

后继序数
术语名称	后继序数
英语名称	successor ordinal

极限序数
术语名称	极限序数
英语名称	limit ordinal

通过取后继得到的序数称为后继序数(successor ordinal)，通过对无最大值的序列取上确界得到的序数称为极限序数(limit ordinal)。

von Neumann 序数

von Neumann 序数是在正则公理下，通过以下方式构造出的序数。

• 空集的序型表示为 [math]\displaystyle{ 0=\varnothing }[/math] ：
• 后继序数 [math]\displaystyle{ S(a) = a \cup \{a\} }[/math] ；
• 极限序数 [math]\displaystyle{ \sup A = \bigcup A }[/math] 。

并定义序数上的序 [math]\displaystyle{ \leq }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ a\leq b\leftrightarrow a\subseteq b }[/math] 。（需注意，全体序数是一个真类，这是真类上的序，不能默认为集合上）

相关关系和运算

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搜索到相关的特殊值：

页面	名称	对象类型
第一个不可数序数#第一个不可数序数	第一个不可数序数	序数
第一个超限序数#第一个超限序数	第一个超限序数	序数

搜索到相关的关系：

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搜索到相关的运算：

页面	运算名称	运算对象	运算元数	运算结果
乘法（序数）#乘法	乘法	序数	2	序数
乘方（序数）#乘方	乘方	序数	2	序数
加法（序数）#加法	加法	序数	2	序数

性质

• 良序性：所有序数间有一个良序。
• 完备性：任何序数集合都有上确界。
• von Neumann 序数构造是传递性的集合，或称传递集： [math]\displaystyle{ x\in y, y\in z \rightarrow x\in z }[/math] 。
• 三歧性： [math]\displaystyle{ x\in y, x=y, y\in x }[/math] 有且仅有一个成立。
• 后继运算：任何序数有唯一后继。
• 极限运算：任何无最大元的序数序列都有极限。
• 超限归纳法
• 超限递归：可以通过初始元素、后继序数对前趋元素的依赖、极限序数与小于其的元素的依赖递归地定义函数。

重要类型

• 有限序数(finite ordinal)：自然数 [math]\displaystyle{ 0,1,2,3,\cdots }[/math] ，代表对应个元素的良序。
• 可数序数(countable ordinal)：指序数中涉及的集合与自然数集能够建立双射（等势）。
  • 第一个超限序数 [math]\displaystyle{ \omega }[/math] ：超过全体自然数的第一个序数，是自然数集本身的序结构。
  • 自然数上可以存在其他序结构，比如全体偶数后接全体奇数，这里 1 没有前趋元素。自然数中除最小元外不存在一个没有前趋的元素，因此结构不同。
  • [math]\displaystyle{ \varepsilon_0 }[/math] ：满足 [math]\displaystyle{ \omega^\alpha=\alpha }[/math] 的第一个序数。
• 不可数序数：序数中涉及的集合是无法与自然数集建立双射的无限集。
  • 第一个不可数序数 [math]\displaystyle{ \omega_1 }[/math] ：最小的不可数序数。
• 初始序数(initial ordinal)：不与更小的序数等势的序数。