命题公式：修订间差异

2025年11月6日 (四) 05:03的版本

命题公式
术语名称	命题公式
英语名称	propositional formula
别名	命题合式公式, propositional well-formed formula, 合式公式, well-formed formula, WFF, 公式, formula

命题公式(propositional formula)是命题语言中的合式公式，由命题变元、逻辑联结词和括号按照特定语法规则构成的符号串。

命题公式是命题逻辑研究的基本对象，通过指派可以确定其真值。

定义

命题合式公式(propositional well-formed formula)，简称合式公式(well-formed formula，缩写为WFF)或命题公式(propositional formula)，有时也简称公式(formula)，是通过以下规则递归定义的符号串：

原子公式：任意命题变元（和命题常量）是命题公式；
复合公式：
- 若 [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] 是命题公式，则 [math]\displaystyle{ \lnot\varphi }[/math] 是命题公式；
- 若 [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \psi }[/math] 是命题公式，则 [math]\displaystyle{ (\varphi \land \psi) }[/math] 、 [math]\displaystyle{ (\varphi \lor \psi) }[/math] 、 [math]\displaystyle{ (\varphi \rightarrow \psi) }[/math] 、 [math]\displaystyle{ (\varphi \leftrightarrow \psi) }[/math] 是命题公式。
只有有限次应用规则 1 和 2 所得到的符号串是命题公式。

为简化书写，通常省略最外层括号，并规定逻辑联结词的优先级从高到低为 [math]\displaystyle{ \lnot, \land, \lor, \rightarrow, \leftrightarrow }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ \land,\lor }[/math] 左结合。

注：

有些定义不提及命题常量。
有些定义中命题常量被归入命题变元。
有些定义包含真值常量真和假。
有些定义将真值常量视为零元联结词。

注意：命题公式中由于含有命题变元，通常不能确认其真值，因此命题公式不是命题。只有命题公式的指派才是命题。

命题公式的分类

主条目：命题公式分类

根据在所有可能指派下的行为，命题公式可分为重言式、矛盾式、偶然式。

命题逻辑/零阶逻辑
基本概念	命题	命题、命题变元、命题常量
基本概念	真值	真 [math]\displaystyle{ \mathrm{T} }[/math]/[math]\displaystyle{ 1 }[/math]/[math]\displaystyle{ \top }[/math] 、假 [math]\displaystyle{ \mathrm{F} }[/math]/[math]\displaystyle{ 0 }[/math]/[math]\displaystyle{ \bot }[/math]
命题结构	命题结构	原子命题、复合命题
	逻辑联结词	否定（非） [math]\displaystyle{ \lnot }[/math] 、合取（且/与） [math]\displaystyle{ \land }[/math] 、析取（或） [math]\displaystyle{ \lor }[/math]
	逻辑联结词	蕴涵（推出） [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math] 、等价（当且仅当） [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]
命题公式	形式定义	命题语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_0 }[/math] 、命题公式
	逻辑语义	指派、 Tarski 真理定义、解释、真值表、满足
	语义分类	重言式/永真式、偶然式/仅可满足式/可真可假式、矛盾式/永假式/不可满足式
	语义关系	重言等价/等值/等价 [math]\displaystyle{ = }[/math]/[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] 、重言蕴涵 [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]
	范式	析取范式、合取范式（主析取范式、主合取范式）

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-'''命题公式'''指由[[命题]]变元、命题常量及逻辑联结词构成的形式合理的表达式。
+'''命题公式'''('''propositional formula''')是[[命题语言]]中的'''合式公式'''，
+由[[命题|命题变元]]、[[逻辑联结词]]和括号按照特定语法规则构成的符号串。
+命题公式是命题逻辑研究的基本对象，通过[[指派（命题逻辑）|指派]]可以确定其真值。
 == 定义 ==
-'''命题合式公式'''('''propositional well-formed formula''')，简称'''合式公式'''('''well-formed formula'''，缩写为'''WFF''')或'''命题公式'''('''propositional formula''')，或简称公式(formula)，是以下列形式生成的符号串：
+'''命题合式公式'''('''propositional well-formed formula''')，简称'''合式公式'''('''well-formed formula'''，缩写为'''WFF''')或'''命题公式'''('''propositional formula''')，有时也简称公式(formula)，是通过以下规则递归定义的符号串：
-# 命题变元和命题常量是命题公式；
+# 原子公式：任意命题变元（和命题常量）是命题公式；
-# 若 <math>A</math> 是命题公式，则 <math>\lnot A</math> 是命题公式。
+# 复合公式：
-# 若 <math>A</math> 、 <math>B</math> 是命题公式，则 <math>A \land B</math> 、 <math>A \lor B</math> 、 <math>A \rightarrow B</math> 、 <math>A \leftrightarrow B</math> 是命题公式。
+#* 若 <math>\varphi</math> 是命题公式，则 <math>\lnot\varphi</math> 是命题公式；
-# 仅有限次应用以上各项所得到的符号串是命题公式。
+#* 若 <math>\varphi</math> 、 <math>\psi</math> 是命题公式，则 <math>(\varphi \land \psi)</math> 、 <math>(\varphi \lor \psi)</math> 、 <math>(\varphi \rightarrow \psi)</math> 、 <math>(\varphi \leftrightarrow \psi)</math> 是命题公式。
-若没有括号，五个运算符按以上出现顺序的优先级进行，相同运算符从左到右。
+# 只有有限次应用规则 1 和 2 所得到的符号串是命题公式。
-<blockquote>
+为简化书写，通常省略最外层括号，并规定逻辑联结词的优先级从高到低为 <math>\lnot, \land, \lor, \rightarrow, \leftrightarrow</math> ，其中 <math>\land,\lor</math> 左结合。
-* 在一些定义中，不会提及命题常量。
-* 在一些定义中，命题常量被归入命题变元。
+注：
-* 在一些定义中，常量是零元联结词。
+* 有些定义不提及命题常量。
-</blockquote>
+* 有些定义中命题常量被归入命题变元。
+* 有些定义包含[[真值]]常量[[真]]和[[假]]。
+* 有些定义将真值常量视为零元联结词。
 注意：命题公式中由于含有命题变元，通常不能确认其真值，因此命题公式不是命题。只有命题公式的[[指派（命题逻辑）|指派]]才是命题。
+== 命题公式的分类 ==
+主条目：[[命题公式分类]]
+根据在所有可能指派下的行为，命题公式可分为重言式、矛盾式、偶然式。
 {{命题逻辑}}