命题

命题
术语名称	命题
英语名称	proposition

命题常量
术语名称	命题常量
英语名称	propositional constant

命题变元
术语名称	命题变元
英语名称	propositional variable

命题(proposition)指可以判断真假的陈述句。其真假称为真值。

定义

在命题逻辑中，命题定义为满足以下条件的陈述：

• 必须是陈述句，而非疑问句、祈使句或感叹句。
• 必须有确定的真值（真或假）。
• 真值不依赖于语境或说话者的主观认识。

用字母代替时，经常使用 P、Q、R、…… 表示任意命题。 确定的、真值已指定的命题称为命题常量(propositional constant)，其真值固定不变； 研究中允许一些可变的符号（变量），称为命题变元(propositional variable)，指向确定的命题，变元自身的真值受所指向命题影响。 命题变元没有指定的真值，因此本身不是命题；命题变元通过指派过程后才获得真值。

说明

数理逻辑作为数学和逻辑学的交叉学科，命题的概念本身来自逻辑学，因此表述上根据逻辑学的特点有多种观点。 本 wiki 选择了更加数学教材的说法。 这个定义中看似上位词的“陈述句”是一个语言学概念，而不是数学或逻辑学上的上位定义，因此这一定义更接近于传达直观理解，是一个描述性定义。

• 每个命题在特定指派下都有确定的真值，共同构成一个解释。
• 命题的真值本身不依赖于表达方式，只依赖于其内容。
• 关于命题的研究中，只关注陈述的真假及它们的关系等，而不关心命题的具体内容。
• 命题有不同的分类。

分类

按结构分类

主条目：原子命题、复合命题。

• 原子命题：不能再分解为更简单命题的基本命题。
• 复合命题：由原子命题通过逻辑联结词组合成的命题。

按真值分类

主条目：命题公式分类。

• 重言式：在所有解释下都为真的命题。
• 矛盾式：在所有解释下都为假的命题。
• 可满足式：至少存在一种解释使其为真的命题。

按认知状态分类

• 已知命题：真值已被确定的命题。
• 未知命题：真值尚未被确定的命题。

真假能判断不代表真值能通过已知事实判断。存在类似“公元 3000 年人类已经灭绝”“宇宙中存在外星人”这种客观上能被判断为真或假，但目前无法给出是真还是假的命题。

命题的表示

在形式逻辑中，命题常量和命题变元都通常用 P、Q、R……等字母表示。 有的作者可能习惯于使用小写字母 p、q、r……等字母表示命题变元，但小写字母有其他冲突，使用的人不多，也不推荐。 对真值，通常用 [math]\displaystyle{ \mathrm{T} }[/math] 或 [math]\displaystyle{ 1 }[/math] 表示真， [math]\displaystyle{ \mathrm{F} }[/math] 或 [math]\displaystyle{ 0 }[/math] 表示假。

逻辑系统中的应用

命题在以下逻辑系统中扮演基础角色：

• 分类:命题逻辑：研究命题间逻辑关系的系统。
• 分类:布尔代数：命题真值的代数处理。
• 分类:证明论：研究命题的证明结构。
• 分类:模型论：研究命题与其解释的关系。

命题逻辑/零阶逻辑
基本概念	命题	命题、命题变元、命题常量
	真值	真 [math]\displaystyle{ \mathrm{T} }[/math]/[math]\displaystyle{ 1 }[/math]/[math]\displaystyle{ \top }[/math] 、假 [math]\displaystyle{ \mathrm{F} }[/math]/[math]\displaystyle{ 0 }[/math]/[math]\displaystyle{ \bot }[/math]
命题结构	命题结构	原子命题、复合命题
	逻辑联结词	否定（非） [math]\displaystyle{ \lnot }[/math] 、合取（且/与） [math]\displaystyle{ \land }[/math] 、析取（或） [math]\displaystyle{ \lor }[/math]
		蕴涵（推出） [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math] 、等价（当且仅当） [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]
命题公式	形式定义	命题语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_0 }[/math] 、命题公式
	逻辑语义	指派、 Tarski 真理定义、解释、真值表、满足
	语义分类	重言式/永真式、偶然式/仅可满足式/可真可假式、矛盾式/永假式/不可满足式
	语义关系	重言等价/等值/等价 [math]\displaystyle{ = }[/math]/[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] 、重言蕴涵 [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]
	范式	析取范式、合取范式（主析取范式、主合取范式）