Mangoldt 函数

曼戈尔特函数
术语名称	曼戈尔特函数
英语名称	von Mangoldt function

曼戈尔特函数(von Mangoldt function)是研究质数定理的过程中借助的数论函数。是一个重要的非加性、非乘性的函数。

定义

定义函数将自然数中的质数幂映射为对应质数的自然对数，并将其他的映射到 0 ，称这个函数为曼戈尔特函数(von Mangoldt function)，记作 [math]\displaystyle{ \Lambda(n) }[/math] ，即：

[math]\displaystyle{ \Lambda(n) = \begin{cases} \ln p &, n=p^k \\ 0 &, \text{其他} \end{cases} }[/math]

性质

Mangoldt 函数的 Möbius 变换结果为自然对数函数，因此可以反变换得到 [math]\displaystyle{ \Lambda(n) = \sum_{d\mid n} \mu(d)\ln(\tfrac{n}{d}) = -\sum_{d\mid n} \mu(d) \ln d }[/math] 。

数论函数
分类	加性函数	完全加性函数
	乘性函数	完全乘性函数
性质	Möbius 反演（Möbius 变换、 Möbius 逆变换）
	Dirichlet 卷积
常见数论函数
除数函数 [math]\displaystyle{ \sigma_k(n) }[/math]	除数函数 [math]\displaystyle{ \sigma_0(n) }[/math]/[math]\displaystyle{ \tau(n) }[/math]/[math]\displaystyle{ d(n) }[/math]	除数和函数 [math]\displaystyle{ \sigma_1(n) }[/math]/[math]\displaystyle{ \sigma(n) }[/math]
Euler 函数	Euler 函数 [math]\displaystyle{ \varphi(n) }[/math]	Carmichael 函数 [math]\displaystyle{ \lambda(n) }[/math]
二次剩余相关符号	Legendre 符号 [math]\displaystyle{ (\tfrac{n}{p}) }[/math]	Jacobi 符号 [math]\displaystyle{ (\tfrac{n}{d}) }[/math]
乘法阶数与指标	乘法阶数 [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}_{m} n }[/math]/[math]\displaystyle{ \delta_{m}(n) }[/math]	指标 [math]\displaystyle{ \operatorname{ind}_{g} n }[/math]/[math]\displaystyle{ \gamma_{m,g}(n) }[/math]
其他	相异质因子个数函数 [math]\displaystyle{ \omega(n) }[/math]	质因子个数函数 [math]\displaystyle{ \Omega(n) }[/math]、Liouville 函数 [math]\displaystyle{ \lambda(n) }[/math]
	质数计数函数 [math]\displaystyle{ \pi(n) }[/math]	Чебышёв 第一函数 [math]\displaystyle{ \theta(n) }[/math]、第二函数 [math]\displaystyle{ \psi(n) }[/math]、Mangoldt 函数 [math]\displaystyle{ \Lambda(n) }[/math]
	Möbius 函数 [math]\displaystyle{ \mu(n) }[/math]
	Dirichlet 特征 [math]\displaystyle{ \chi(n;m) }[/math]