质数阶乘

质数阶乘
术语名称	质数阶乘
英语名称	primorial

质数阶乘(primorial)是所有不超过某整数的质数之积。

定义

质数阶乘
运算名称	质数阶乘
运算符号	[math]\displaystyle{ \# }[/math]
Latex	\#
运算对象
运算元数	2
运算结果
结构	数论函数
定义域	[math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math]
陪域	[math]\displaystyle{ \mathbb{N}_+ }[/math]

依次记所有质数为 [math]\displaystyle{ p_1 = 2 , p_2 = 3 , p_3 = 5, \cdots }[/math] ，对第 [math]\displaystyle{ k }[/math] 个质数 [math]\displaystyle{ p_k }[/math] ，记 [math]\displaystyle{ 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times \cdots \times p_k = \prod_{j=1}^k p_j }[/math] ，称为第 [math]\displaystyle{ k }[/math] 个质数的质数阶乘(primorial)，记作 [math]\displaystyle{ p_k\# }[/math] 。

对自然数 [math]\displaystyle{ n }[/math] ，记所有不超过其的质数之积 [math]\displaystyle{ 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times \cdots \times p = \prod_{p \leq n} p }[/math] ，其中 [math]\displaystyle{ \sum_{p \leq n} }[/math] 表示对不超过 [math]\displaystyle{ n }[/math] 的全体质数 [math]\displaystyle{ p }[/math] 求和，称为自然数 [math]\displaystyle{ n }[/math] 的质数阶乘(primorial)，记作 [math]\displaystyle{ n\# }[/math] 。

数论函数
分类	加性函数	完全加性函数
	乘性函数	完全乘性函数
性质	Möbius 反演（Möbius 变换、 Möbius 逆变换）
	Dirichlet 卷积
常见数论函数
除数函数 [math]\displaystyle{ \sigma_k(n) }[/math]	除数函数 [math]\displaystyle{ \sigma_0(n) }[/math]/[math]\displaystyle{ \tau(n) }[/math]/[math]\displaystyle{ d(n) }[/math]	除数和函数 [math]\displaystyle{ \sigma_1(n) }[/math]/[math]\displaystyle{ \sigma(n) }[/math]
Euler 函数	Euler 函数 [math]\displaystyle{ \varphi(n) }[/math]	Carmichael 函数 [math]\displaystyle{ \lambda(n) }[/math]
二次剩余相关符号	Legendre 符号 [math]\displaystyle{ (\tfrac{n}{p}) }[/math]	Jacobi 符号 [math]\displaystyle{ (\tfrac{n}{d}) }[/math]
乘法阶数与指标	乘法阶数 [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}_{m} n }[/math]/[math]\displaystyle{ \delta_{m}(n) }[/math]	指标 [math]\displaystyle{ \operatorname{ind}_{g} n }[/math]/[math]\displaystyle{ \gamma_{m,g}(n) }[/math]
其他	相异质因子个数函数 [math]\displaystyle{ \omega(n) }[/math]	质因子个数函数 [math]\displaystyle{ \Omega(n) }[/math]、Liouville 函数 [math]\displaystyle{ \lambda(n) }[/math]
	质数计数函数 [math]\displaystyle{ \pi(n) }[/math]	Чебышёв 第一函数 [math]\displaystyle{ \theta(n) }[/math]、第二函数 [math]\displaystyle{ \psi(n) }[/math]、Mangoldt 函数 [math]\displaystyle{ \Lambda(n) }[/math]
	Möbius 函数 [math]\displaystyle{ \mu(n) }[/math]
	Dirichlet 特征 [math]\displaystyle{ \chi(n;m) }[/math]

琐事

名称

单词 primorial 是按照 factor(s) 和 factorial 的关系，用 prime(s) 进行的仿词。

数列编号

第 k 个质数的质数阶乘，A002110。