差（关系）

差
术语名称	差
英语名称	difference

关系的差(difference of relation)指将两个关系作为子集的差集，也就是“有前一关系但没有后一关系”所对应的关系。

定义

差关系
运算名称	差关系
运算符号	[math]\displaystyle{ \setminus }[/math],[math]\displaystyle{ - }[/math]
Latex	\setminus, -
运算对象	关系
运算元数	2
运算结果	关系
定义域	[math]\displaystyle{ \mathcal{P}(X \times Y) \times \mathcal{P}(X \times Y) }[/math]
陪域	[math]\displaystyle{ \mathcal{P}(X \times Y) }[/math]

对集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 上的两个关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 、 [math]\displaystyle{ S }[/math] ，记差集 [math]\displaystyle{ R \setminus S = \left\{ (x, y) \in X\times Y \mid (x, y) \in R \land (x, y) \notin S \right\} = \left\{ (x, y) \mid x R y \land x \lnot S y \right\} }[/math] ，称为 [math]\displaystyle{ R }[/math] 与 [math]\displaystyle{ S }[/math] 的差(difference)。

多元关系的交

对集合 [math]\displaystyle{ A_1, \cdots, A_n }[/math] 上的两个多元关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 、 [math]\displaystyle{ S }[/math] ，定义差集 [math]\displaystyle{ R\setminus S }[/math] 为两个关系的差关系。

性质

• 差关系是关系差集运算的结果，满足差集的所有性质，见集合差集的性质。

关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
二元齐次关系类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	集合运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	类映射运算	转置/逆 [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{|\bullet} }[/math]
	闭包运算	自反 [math]\displaystyle{ \operatorname{r}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^= }[/math]、对称 [math]\displaystyle{ \operatorname{s}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^\sim }[/math]、传递 [math]\displaystyle{ \operatorname{t}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^+ }[/math]、自反传递 [math]\displaystyle{ \bullet^* }[/math]、等价 [math]\displaystyle{ \bullet^\equiv }[/math]