幂（关系）

幂
术语名称	幂
英语名称	power

关系的幂(power of relations)指一个关系自我复合多次构成的关系。

定义

幂
运算名称	幂
运算符号	[math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]
Latex	^
运算对象	关系
运算元数	2
运算结果	关系
定义域	[math]\displaystyle{ \mathcal{P}(X \times X) \times \mathbb{Z} }[/math]
陪域	[math]\displaystyle{ \mathcal{P}(X \times X) }[/math]

对集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，记 [math]\displaystyle{ R^1 = R }[/math] 并递推地记 [math]\displaystyle{ R^{n+1} = R \circ R^{n} }[/math]，称为 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的幂(power)。

由于复合的结合性，幂定义成 [math]\displaystyle{ R^{n+1} = R^{n} \circ R }[/math] 也是相同的。

注意：由于复合会限制前后域之前的关系，自身复合需要前后域相同。

零指数与负指数

定义 [math]\displaystyle{ R^0 = I }[/math] 为恒等映射。 但由于 [math]\displaystyle{ R }[/math] 和 [math]\displaystyle{ I }[/math] 前后域可以不同，也有人定义为 [math]\displaystyle{ I_{\operatorname{fld}(R)} }[/math]。 也有人在可逆的情况下定义，不总有这样的定义。

尽管逆经常也写成指数形式的 [math]\displaystyle{ R^{-1} }[/math] ，但只有关系可逆、即其逆是其在复合运算下的逆元的情况下，才能视作与幂相当的指数。

关系/二元关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	基础运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	函数性运算	对偶（转置、逆） [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{|\bullet} }[/math]