恒等映射

恒等映射
术语名称	恒等映射
英语名称	identity map
别名	恒等函数, identity function, 恒等变换, identity transformation

恒等映射(identity map)指一个映射的定义域与陪域相同，且把所有元素都映射到其本身。

定义

恒等映射
函数名称	恒等映射
函数符号	[math]\displaystyle{ \mathrm{id}_A }[/math]
运算参数
运算结果
Latex	\mathrm{id}
类型	双射
定义域	[math]\displaystyle{ A }[/math]
陪域	[math]\displaystyle{ A }[/math]

对集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] ，映射 [math]\displaystyle{ f: X \to X, x \mapsto x }[/math] 是唯一的，称为 [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的恒等映射(identity map)或恒等函数(identity function)，常记作 [math]\displaystyle{ \mathrm{id}_X }[/math]。 恒等映射总是同一集合到自身的映射，即变换，因此也称为恒等变换(identity transformation)。

注意：恒等映射要求定义域与陪域相同。若不同，参考包含映射。

性质

空集到空集的空映射也是恒等映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{id}_\varnothing }[/math]。

恒等映射总是双射。

恒等映射是幂等的。

映射
定义属性	定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math] 、陪域、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]
特殊映射	空映射、常值映射、恒等映射[math]\displaystyle{ \mathrm{id}_\bullet }[/math]、包含映射[math]\displaystyle{ \iota }[/math]
类型	单射、满射、双射
运算	复合[math]\displaystyle{ \circ }[/math]、迭代[math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]、逆映射（反函数）[math]\displaystyle{ \bullet^{-1} }[/math]、限制、延拓