模 n 剩余类环
| 模n剩余类环 | |
|---|---|
| 术语名称 | 模n剩余类环 |
| 英语名称 | ring of integer modulo n |
| 别名 | 模n整数环 |
模 [math]\displaystyle{ n }[/math] 剩余类环/模 [math]\displaystyle{ n }[/math] 整数环(ring of integer modulo [math]\displaystyle{ n }[/math]) 指所有模 [math]\displaystyle{ n }[/math] 剩余类关于加法乘法构成的环。
定义
全体模 [math]\displaystyle{ n }[/math] 剩余类所构成的集合 [math]\displaystyle{ \{[0], [1], \dots, [n-1]\} }[/math] 。特别地，定义 [math]\displaystyle{ n=0 }[/math] 时每个整数所在的剩余类都是单元素集。
加法群
加法
对等价类 [math]\displaystyle{ [a]_n ,[b]_n }[/math] ，定义运算 [math]\displaystyle{ [a]_n + [b]_n = [a+b]_n }[/math] 。
可证明，这样的加法是良定义的。
加法下的结构
由于剩余类的加法归结于整数的加法，和整数的加法对应，相关性质基本可以通过加法的运算得到。
- 封闭性
- 结合性
- 有幺元，即环中的零元： [math]\displaystyle{ [0]_n }[/math]
- 有逆元，即环中的负元： 有 [math]\displaystyle{ [a]_n + [-a]_n = [0]_n }[/math] ，因此可记运算 [math]\displaystyle{ -[a]_n = [-a]_n }[/math] ，可证明这样的运算是良定义的。
- 交换性
因此，模n剩余类集合在加法下构成一个交换群，称为模 [math]\displaystyle{ n }[/math] 剩余类群，记为 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} }[/math] 。
模 [math]\displaystyle{ n }[/math] 剩余类群与 [math]\displaystyle{ n }[/math] 阶循环群同构。
乘法幺半群
乘法
对等价类 [math]\displaystyle{ [a]_n ,[b]_n }[/math] ，定义运算 [math]\displaystyle{ [a]_n \cdot [b]_n = [ab]_n }[/math] 。
可证明，这样的乘法是良定义的。
乘法下的结构
由于剩余类的加法归结于整数的乘法，和整数的乘法对应，前几条性质基本可以通过乘法的运算得到。
- 封闭性
- 结合性
- 有幺元，即环中的幺元： [math]\displaystyle{ [1]_n }[/math]
- 有零元，即环中的零元： [math]\displaystyle{ [0]_n }[/math]
- 交换性
简化剩余系乘法群
以下是与整数不同的性质。
- 部分有逆元： 当且仅当 [math]\displaystyle{ \operatorname(a, n) = 1 }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ (\exists [b]_n\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z})[a]_n [b]_n = [1]_n }[/math] 。
且以上元素构成的集合上，乘法一定是封闭的，构成一个交换群，称为模 [math]\displaystyle{ n }[/math] 剩余类乘法群，也记作 [math]\displaystyle{ (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times }[/math] 或 [math]\displaystyle{ (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^* }[/math] 。
剩余类环
对自然数 [math]\displaystyle{ n }[/math] ，全体模 [math]\displaystyle{ n }[/math] 剩余类的集合 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} }[/math] 关于剩余类的加法和乘法构成一个环，称为模 [math]\displaystyle{ n }[/math] 剩余类环 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} }[/math] 。
剩余类域
对质数 [math]\displaystyle{ p }[/math] ，全体模 [math]\displaystyle{ p }[/math] 剩余类的集合 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} }[/math] 关于剩余类的加法和乘法构成一个域，称为模 [math]\displaystyle{ p }[/math] 剩余类域 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} }[/math] 。