对偶关系
| 对偶 | |
|---|---|
| 术语名称 | 对偶 |
| 英语名称 | converse |
| 别名 | dual, 反置, 逆, inverse, opposite, 转置, transpose |
对偶关系(dual relation)/反置关系(converse relation)指一个关系交换前后域及涉及元素的先后顺序所构成的关系。
定义
| 逆 | |
|---|---|
| 运算名称 | 逆 |
| 运算符号 | [math]\displaystyle{ \bullet^{-1} }[/math],[math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T} }[/math] |
| Latex | ^{-1} , ^\mathrm{T}
|
| 运算对象 | 关系 |
| 运算元数 | 1 |
| 运算结果 | 关系 |
| 定义域 | [math]\displaystyle{ \mathcal{P}(X \times Y) }[/math] |
| 陪域 | [math]\displaystyle{ \mathcal{P}(Y \times X) }[/math] |
对集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 到 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 的二元关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，记 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 到 [math]\displaystyle{ X }[/math] 的关系 [math]\displaystyle{ R^{-1} = \left\{ \langle y, x \rangle \mid \langle x, y \rangle \in R \right\} = \left\{ \langle y, x \rangle \mid x R y \right\} }[/math] ，称为 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的对偶关系(dual relation)/反置关系(converse relation)，简称对偶(dual)/反置(converse)，或逆关系(inverse relation)，简称逆(inverse)，或转置关系(transpose relation)，简称转置(transpose)，一般记为 [math]\displaystyle{ R^{-1} }[/math] 或 [math]\displaystyle{ R^\mathrm{T} }[/math]，也有人记为 [math]\displaystyle{ R^\mathrm{C} }[/math]。
相对少见的情况，有人记作 [math]\displaystyle{ \breve{R} }[/math] 或 [math]\displaystyle{ R^{\circ} }[/math] 。在两种语言中“dual”和“反置”都相对少用，出于中英文对应补在上述定义中。
关系矩阵的性质
对偶关系的关系矩阵是原关系矩阵的转置，即 [math]\displaystyle{ M_{R^\mathrm{T}} = M_R^\mathrm{T} }[/math] 。
若关系在复合下的左（右）逆元存在，称这一关系左（右）可逆(left-invertible / right-invertible)，左（右）逆元称为这一关系的左（右）逆(left inverse / right inverse)；一个关系同时左可逆、右可逆时，称这一关系可逆(invertible)。 若关系前后域相同且可逆，则其左右逆相等，称为这一关系的逆元(inverse)，且等于其逆关系即对偶关系。但通常情况下，关系不可逆，此时其对偶关系不是其逆元。