逆关系

逆关系
术语名称	逆关系
英语名称	converse relation
别名	反置关系, 逆关系, inverse relation, opposite relation, 转置关系, transpose relation

逆关系(converse relation / inverse relation)或转置关系(transpose relation)指对一个关系，交换其前后域及所有有序对的顺序而构成的新关系。

定义

逆关系
运算名称	逆关系
运算符号	[math]\displaystyle{ \bullet^{-1} }[/math],[math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T} }[/math]
Latex	^{-1}, ^\mathrm{T}
运算对象	关系
运算元数	1
运算结果	关系
定义域	[math]\displaystyle{ \mathcal{P}(X \times Y) }[/math]
陪域	[math]\displaystyle{ \mathcal{P}(Y \times X) }[/math]

对集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 到 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 的二元关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，记 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 到 [math]\displaystyle{ X }[/math] 的关系 [math]\displaystyle{ R^{-1} = \left\{(y, x) \mid (x, y) \in R \right\} = \left\{ (y, x) \mid x R y \right\} }[/math] ，称为 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的逆关系(converse relation / 'inverse relation)，简称逆(converse / 'inverse)，或转置关系(transpose relation)，简称转置(transpose)， 一般记为 [math]\displaystyle{ R^{-1} }[/math] ，也有人记为 [math]\displaystyle{ R^\mathrm{T} }[/math] 。

相对少见的情况，也存在一些人会记为 [math]\displaystyle{ R^\mathrm{C} }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \breve{R} }[/math] 或 [math]\displaystyle{ R^{\circ} }[/math] 。

关系矩阵的性质

对偶关系的关系矩阵是原关系矩阵的转置，即 [math]\displaystyle{ M_{R^\mathrm{T}} = M_R^\mathrm{T} }[/math] 。

关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
二元齐次关系类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	集合运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	类映射运算	转置/逆 [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{|\bullet} }[/math]
	闭包运算	自反 [math]\displaystyle{ \operatorname{r}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^= }[/math]、对称 [math]\displaystyle{ \operatorname{s}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^\sim }[/math]、传递 [math]\displaystyle{ \operatorname{t}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^+ }[/math]、自反传递 [math]\displaystyle{ \bullet^* }[/math]、等价 [math]\displaystyle{ \bullet^\equiv }[/math]

琐事

名称

尽管称作逆关系，不一定是关系在复合下的逆元本身。 若关系在复合下的左（右）逆元存在，称这一关系左（右）可逆(left-invertible / right-invertible)，左（右）逆元称为这一关系的左（右）逆(left inverse / right inverse)；一个关系同时左可逆、右可逆时，称这一关系可逆(invertible)。 若关系前后域相同且可逆，则其左右逆相等，称为这一关系的逆元(inverse)，且等于其逆关系即对偶关系。但通常情况下，关系不可逆，此时其对偶关系不是其逆元。