Zorn 引理：修订间差异

2025年10月27日 (一) 04:15的最新版本

佐恩引理
术语名称	佐恩引理
英语名称	Zorn's lemma

Zorn 引理(Zorn's lemma)指偏序集中，若任意链有上界，则偏序集有极大元。等价于选择公理。

定理

对非空偏序集 [math]\displaystyle{ (P, \preceq) }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ P }[/math] 中每条链都有上界，则该偏序集中存在至少一个极大元。

可展开表述为：

对 [math]\displaystyle{ P }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ (\forall C\subseteq P) (\exists u\in P) (\forall c \in C) (c\preceq u) }[/math] ，则 [math]\displaystyle{ (\exists m \in P)\lnot(\exists x \in P)(x\neq m \land m \preceq x) }[/math] 。

与选择公理的关系

Zorn 引理通常作为公理使用，与以下命题等价。

序理论
预序、预序集	极大元、极小元	最大元、最小元
预序、预序集	上界、下界	上确界、下确界
方向、有向集	半格（并半格、交半格）	有界半格（有界并半格、有界交半格）
方向、有向集	格	有界格
偏序、偏序集	Hasse 图
	链、长度、高度	反链、宽度
	Dilworth 定理	Mirsky 定理

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 [[分类:序理论]]
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 == 定理 ==
-对非空偏序集 <math>(P, \preceq)</math> ，若其中每条链都有上界，则该偏序集中存在至少一个极大元。
+对非空偏序集 <math>(P, \preceq)</math> ，若 <math>P</math> 中每条链都有上界，则该偏序集中存在至少一个极大元。
+可展开表述为：
+对 <math>P</math> ，若 <math>(\forall C\subseteq P) (\exists u\in P) (\forall c \in C) (c\preceq u)</math> ，
+则 <math>(\exists m \in P)\lnot(\exists x \in P)(x\neq m \land m \preceq x)</math> 。
+== 与选择公理的关系 ==
+Zorn 引理通常作为公理使用，与以下命题等价。
+* [[选择公理]](Axiom of Choice, AC)
+* [[良序原理]]
+* [[Tukey 引理]]
+* [[Hausdorff 极大原理]]
 {{序理论}}