预序

预序
术语名称	预序
英语名称	preorder
别名	预序关系, non-strict preorder

预序集
术语名称	预序集
英语名称	proset
别名	preordered set, non-strictly preordered set

预序(preorder)指集合上的一个二元关系同时自反且传递。 元素间存在预序关系的集合称为预序集(preordered set, proset)。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ P }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ \preceq }[/math] ，如果满足自反性和传递性，即：

• 自反性： [math]\displaystyle{ \forall a \in P (a \preceq a) }[/math]
• 传递性： [math]\displaystyle{ \forall a \forall b \forall c (a \preceq b \land b \preceq c \rightarrow a \preceq c) }[/math]

称关系 [math]\displaystyle{ \preceq }[/math] 为一个预序(preorder)。 并称带有预序关系的集合 [math]\displaystyle{ (P,\preceq) }[/math] 为预序集(preordered set, proset)。

关联

预序的特征是内部元素的先后关系的传递性可能使其产生层次，每个层次内可能有不相关的几个子部分，每个子部分又是一个预序，而且偶尔同一层内可能是一团互相先于对方因此无法被序关系区分的元素。

如果预序是反对称的，此时不再允许互相先于对方的元素团出现，就得到了偏序。

如果预序是对称的，此时层次被拉平，整个集合只剩下一个层次，则是等价关系。

如果预序是完全的，此时同一级内的元素互相之间都能比较，每个子部分都只能有一级，也就是多个元素互相存在关系，此时是弱序。

关系/二元关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	基础运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	函数性运算	对偶（转置、逆） [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{|\bullet} }[/math]

二元关系复合类型
名称	自反、反自反	对称、反对称	传递	其他
预序	自反	-	传递	-
等价关系	自反	对称	传递	-
方向	自反	-	传递	有上/下界
偏序	自反	反对称	传递	-
弱序/全序划分	自反	-	传递	完全
全序	自反	反对称	传递	完全
良序	自反	反对称	传递	完全、良基
不对称	反自反	反对称	-	-
拟序/严格偏序	反自反	反对称	传递	-
严格弱序/严格全序划分	反自反	反对称	传递	不可比关系传递
严格全序	反自反	反对称	传递	完全