极大元、极小元（序理论）

极大元
术语名称	极大元
英语名称	maximal element

极小元
术语名称	极小元
英语名称	minimal element

极大/极小元(maximal/minimal element)指预序集的子集（或预序集本身）中，不先于等于/后于等于其他任意元素的某个元素。或者说，在这个子集中没有更先/更后元素的元素。

极大元与极小元互为对偶。

定义

对预序集 [math]\displaystyle{ (P, \preceq) }[/math] 及其任意子集 [math]\displaystyle{ S\subseteq P }[/math] ，

若对某元素 [math]\displaystyle{ m \in S }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ (\forall s \in S \setminus \{m\}) \lnot (s \preceq m) }[/math] ，则称元素 [math]\displaystyle{ s }[/math] 是 [math]\displaystyle{ S }[/math] 中的一个极大元(maximal element)；
若对某元素 [math]\displaystyle{ m \in S }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ (\forall s \in S \setminus \{m\}) \lnot (m \preceq s) }[/math] ，则称元素 [math]\displaystyle{ s }[/math] 是 [math]\displaystyle{ S }[/math] 中的一个极小元(minimal element)。

注：