Zorn 引理
| 佐恩引理 | |
|---|---|
| 术语名称 | 佐恩引理 |
| 英语名称 | Zorn's lemma |
Zorn 引理(Zorn's lemma)指偏序集中，若任意链有上界，则偏序集有极大元。 等价于选择公理。
定理
对非空偏序集 [math]\displaystyle{ (P, \preceq) }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ P }[/math] 中每条链都有上界，则该偏序集中存在至少一个极大元。
可展开表述为：
对 [math]\displaystyle{ P }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ (\forall C\subseteq P) (\exists u\in P) (\forall c \in C) (c\preceq u) }[/math] ， 则 [math]\displaystyle{ (\exists m \in P)\lnot(\exists x \in P)(x\neq m \land m \preceq x) }[/math] 。
与选择公理的关系
Zorn 引理通常作为公理使用，与以下命题等价。
- 选择公理(Axiom of Choice, AC)
- 良序原理
- Tukey 引理
- Hausdorff 极大原理
| 序理论 | ||
|---|---|---|
| 预序、预序集 | 极大元、极小元 | 最大元、最小元 |
| 上界、下界 | 上确界、下确界 | |
| 方向、有向集 | 半格（并半格、交半格） | 有界半格（有界并半格、有界交半格） |
| 格 | 有界格 | |
| 偏序、偏序集 | Hasse 图 | |
| 链、长度、高度 | 反链、宽度 | |
| Dilworth 定理 | Mirsky 定理 | |