上界、下界

上界
术语名称	上界
英语名称	upper bound
别名	majorant

下界
术语名称	下界
英语名称	lower bound
别名	minorant

有上界
术语名称	有上界
英语名称	bounded from above
别名	bounded above, majorized

有下界
术语名称	有下界
英语名称	bounded from below
别名	bounded below, minorized

上界(upper bound)和下界(lower bound)指在预序集中，对一个子集，大于等于或小于等于其全部元素的原预序集元素。 也就是有预序的集合中，大于等于或小于等于给定小集合全部元素的任意元素。

上界与下界互为对偶。

定义

对预序集 [math]\displaystyle{ (P, \preceq) }[/math] 及其子集 [math]\displaystyle{ S\subseteq P }[/math] ，若存在 [math]\displaystyle{ p \in P }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ \forall s\in S (s \preceq p) }[/math] ，则称元素 [math]\displaystyle{ p }[/math] 是子集 [math]\displaystyle{ S }[/math] 的一个上界(upper bound)； 若存在 [math]\displaystyle{ p \in P }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ \forall s\in S (p \preceq s) }[/math] ，则称元素 [math]\displaystyle{ p }[/math] 是子集 [math]\displaystyle{ S }[/math] 的一个下界(lower bound)。

若对一个子集 [math]\displaystyle{ S }[/math] 存在上界，称子集 [math]\displaystyle{ S }[/math] 有上界(is bounded (from) above)；若存在下界，称子集 [math]\displaystyle{ S }[/math] 有下界(is bounded from below)；若同时有上界和有下界，称子集 [math]\displaystyle{ S }[/math] 有界(is bounded)。

性质

• 基本特征
  • 上界是大于等于子集中所有元素的元素，下界是小于等于子集中所有元素的元素。
  • 上界和下界都不一定存在，如果存在也不一定唯一。
  • 上界和下界在预序集中，而不要求在子集中。
• 与极值元素的关系
  • 若子集有最大元，则它也是该子集的上界；若子集有最小元，则它也是该子集的下界。
  • 上界（下界）本身不唯一，比任意一个上界大的任意元素也都是上界（比下界小的也都是下界），上界（下界）集合内可能有最小元（最大元），即上确界、下确界。
• 空集与包含关系
  • 空集的上界是预序集中的每个元素；空集的下界是预序集中的每个元素。空集总是有界的。
  • 若两个子集间存在包含关系， [math]\displaystyle{ A\subseteq B }[/math] ，则 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的每个上界都是 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的上界，每个下界也都是 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的下界。

二元关系复合类型
名称	自反、反自反	对称、反对称	传递	其他
相容关系	自反	对称	-	-
预序	自反	-	传递	-
等价关系	自反	对称	传递	-
方向	自反	-	传递	有上/下界
偏序	自反	反对称	传递	-
半格	自反	反对称	传递	有上/下确界
弱序/全序划分	自反	-	传递	完全
全序	自反	反对称	传递	完全
良序	自反	反对称	传递	完全、良基
不对称	反自反	反对称	-	-
拟序/严格偏序	反自反	反对称	传递	-
严格弱序/严格全序划分	反自反	反对称	传递	不可比关系传递
严格全序	反自反	反对称	传递	完全