充分条件、必要条件：修订间差异

2025年11月11日 (二) 10:46的最新版本

充分条件
术语名称	充分条件
英语名称	sufficient condition

必要条件
术语名称	必要条件
英语名称	necessary condition

充要条件
术语名称	充要条件
英语名称	necessary and sufficient condition
别名	充分必要条件

在两个命题的重言蕴涵中，前件称为后件的充分条件(sufficient condition)，后件称为前件的必要条件(necessary condition)；若一个命题既是另一个命题的充分条件，也是其必要条件，称为其充分必要条件，简称充要条件。

定义

若两命题 [math]\displaystyle{ p }[/math] 和 [math]\displaystyle{ q }[/math] 间存在重言蕴涵 [math]\displaystyle{ p\Rightarrow q }[/math] ，称：

[math]\displaystyle{ p }[/math] 为 [math]\displaystyle{ q }[/math] 的充分条件（[math]\displaystyle{ p }[/math] is a sufficient condition for [math]\displaystyle{ q }[/math] / [math]\displaystyle{ p }[/math] is sufficient for [math]\displaystyle{ q }[/math]）；
[math]\displaystyle{ q }[/math] 为 [math]\displaystyle{ p }[/math] 的必要条件（[math]\displaystyle{ q }[/math] is a necessary condition for [math]\displaystyle{ p }[/math] / [math]\displaystyle{ q }[/math] is necessary for [math]\displaystyle{ p }[/math]）。

是否构成一个充分条件或必要条件分别被称为其充分性(sufficiency)和必要性(necessity)。

若 [math]\displaystyle{ p }[/math] 既是 [math]\displaystyle{ q }[/math] 的充分条件，也是 [math]\displaystyle{ q }[/math] 的必要条件，即两命题存在重言等价时，称 [math]\displaystyle{ p }[/math] 是 [math]\displaystyle{ q }[/math] 的充分必要条件(necessary and sufficient condition)，简称充要条件。此时， [math]\displaystyle{ q }[/math] 也是 [math]\displaystyle{ p }[/math] 的充要条件。

注：判断充分条件、必要条件本身是对命题为真或为假的说明，按 Tarski 真理定义对语言分层的处理，属于元语言而非对象语言本身所在的对象语言，因此也只能依赖重言蕴涵和重言等价这两个元语言谓词。

条件关系分类

根据充分性和必要性，两个命题之间的关系可以被分类为：

一个命题是另一个命题的充要条件 [math]\displaystyle{ p\Rightarrow q, q\Rightarrow p }[/math] ；
一个命题是另一个命题的充分不必要条件 [math]\displaystyle{ p\Rightarrow q, q\nRightarrow p }[/math] ；
一个命题是另一个命题的必要不充分条件 [math]\displaystyle{ p\nRightarrow q, q\Rightarrow p }[/math] ；
一个命题是另一个命题的既不充分也不必要条件 [math]\displaystyle{ p\nRightarrow q, q\nRightarrow p }[/math] 。

命题逻辑/零阶逻辑
基本概念	命题	命题、命题变元、命题常量
基本概念	真值	真 [math]\displaystyle{ \mathrm{T} }[/math]/[math]\displaystyle{ 1 }[/math]/[math]\displaystyle{ \top }[/math] 、假 [math]\displaystyle{ \mathrm{F} }[/math]/[math]\displaystyle{ 0 }[/math]/[math]\displaystyle{ \bot }[/math]
命题结构	命题结构	原子命题、复合命题
	逻辑联结词	否定（非） [math]\displaystyle{ \lnot }[/math] 、合取（且/与） [math]\displaystyle{ \land }[/math] 、析取（或） [math]\displaystyle{ \lor }[/math]
	逻辑联结词	蕴涵（推出） [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math] 、等价（当且仅当） [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]
命题公式	形式定义	命题语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_0 }[/math] 、命题公式
	逻辑语义	指派、 Tarski 真理定义、解释、真值表、满足
	语义分类	重言式/永真式、偶然式/仅可满足式/可真可假式、矛盾式/永假式/不可满足式
	语义关系	重言等价/等值/等价 [math]\displaystyle{ = }[/math]/[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] 、重言蕴涵 [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]
	范式	析取范式、合取范式（主析取范式、主合取范式）

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-在[[重言蕴含]]中，前件称为后件的'''充分条件'''，后件称为前件的'''必要条件'''；
+在两个[[命题]]的[[重言蕴涵]]中，前件称为后件的'''充分条件'''('''sufficient condition''')，后件称为前件的'''必要条件'''('''necessary condition''')；
 若一个命题既是另一个命题的充分条件，也是其必要条件，称为其'''充分必要条件'''，简称'''充要条件'''。
 == 定义 ==
-若两命题 <math>p</math> 和 <math>q</math> 间存在重言蕴含 <math>p\Rightarrow q</math> ，称：
+若两命题 <math>p</math> 和 <math>q</math> 间存在重言蕴涵 <math>p\Rightarrow q</math> ，称：
 * <math>p</math> 为 <math>q</math> 的'''充分条件'''（<math>p</math> is a '''sufficient condition''' for <math>q</math> / <math>p</math> is '''sufficient''' for <math>q</math>）；
 * <math>q</math> 为 <math>p</math> 的'''必要条件'''（<math>q</math> is a '''necessary condition''' for <math>p</math> / <math>q</math> is '''necessary''' for <math>p</math>）。
-同时考虑'''充分性'''('''sufficiency''')和'''必要性'''('''necessity''')。若 <math>p</math> 既是 <math>q</math> 的充分条件，也是 <math>q</math> 的必要条件，即两命题存在[[等值（逻辑）|重言等值]]时，则称 <math>p</math> 是 <math>q</math> 的'''充分必要条件'''('''necessary and sufficient condition''')，简称'''充要条件'''。
+是否构成一个充分条件或必要条件分别被称为其'''充分性'''('''sufficiency''')和'''必要性'''('''necessity''')。
-类似地，一个命题也可以是另一个命题的'''充分不必要条件'''、'''必要不充分条件'''或者'''既不充分也不必要条件'''。
+若 <math>p</math> 既是 <math>q</math> 的充分条件，也是 <math>q</math> 的必要条件，即两命题存在[[等值（逻辑）|重言等价]]时，称 <math>p</math> 是 <math>q</math> 的'''充分必要条件'''('''necessary and sufficient condition''')，简称'''充要条件'''。
+此时， <math>q</math> 也是 <math>p</math> 的充要条件。
+注：判断充分条件、必要条件本身是对命题为真或为假的说明，按 [[Tarski 真理定义]]对语言分层的处理，属于[[元语言]]而非对象语言本身所在的对象语言，因此也只能依赖重言蕴涵和重言等价这两个元语言谓词。
+== 条件关系分类 ==
-注：判断充分条件、必要条件本身是对命题为真或为假的说明，属于用于描述逻辑语言的元语言而非逻辑语言本身所在的对象语言。
+根据充分性和必要性，两个命题之间的关系可以被分类为：
+* 一个命题是另一个命题的'''充要条件''' <math>p\Rightarrow q, q\Rightarrow p</math> ；
+* 一个命题是另一个命题的'''充分不必要条件''' <math>p\Rightarrow q, q\nRightarrow p</math> ；
+* 一个命题是另一个命题的'''必要不充分条件''' <math>p\nRightarrow q, q\Rightarrow p</math> ；
+* 一个命题是另一个命题的'''既不充分也不必要条件''' <math>p\nRightarrow q, q\nRightarrow p</math> 。
 {{命题逻辑}}