复合（关系）

复合
术语名称	复合
英语名称	composition

关系的复合(composition of relations)指两个或多个关系依次首尾相接构成的关系。

定义

复合
运算名称	复合
运算符号	[math]\displaystyle{ \circ }[/math]
Latex	\circ
运算对象	关系
运算元数	2
运算结果	关系
定义域	[math]\displaystyle{ \mathcal{P}(X \times Y) \times \mathcal{P}(Y \times Z) }[/math]
陪域	[math]\displaystyle{ \mathcal{P}(X \times Z) }[/math]

对集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 到 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 的关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 到 [math]\displaystyle{ Z }[/math] 的关系 [math]\displaystyle{ S }[/math] ，记 [math]\displaystyle{ RS = \left\{ \langle x,z \rangle \mid \exists y (\langle x,y \rangle \in R \land \langle y,z \rangle \in S) \right\} = \left\{ \langle x,z \rangle \mid \exists y (x R y \land y S z) \right\} }[/math] ，称为 [math]\displaystyle{ S }[/math] 与 [math]\displaystyle{ R }[/math] 的复合(composition)，记作 [math]\displaystyle{ S\circ R }[/math]。也称为 [math]\displaystyle{ R }[/math] 与 [math]\displaystyle{ S }[/math] 的逆序复合或右复合，记作 [math]\displaystyle{ RS }[/math]。

有人也记作 [math]\displaystyle{ R\circ S }[/math] ，先应用左边再应用右边，称为“右复合”，和函数的复合 [math]\displaystyle{ f\circ g }[/math] 等先应用右边再应用左边的记号刚好顺序相反，被称为“左复合”。国内一般函数总是使用左复合，关系两种都有，但现行教材用右复合较多。由于左右不统一会产生对记号 [math]\displaystyle{ \circ }[/math] 的额外理解成本，不指出时本 wiki 使用左复合以减少混淆。此外，也有人对关系使用 [math]\displaystyle{ R ; S }[/math] 来区分右复合记号。

∘
字符	∘
Unicode码位	U+2218 Ring Operator

性质

两个关系的复合的关系矩阵是两个关系矩阵的积，其中矩阵乘法中元素的加法和乘法对应替换为逻辑或（逻辑加法）和逻辑与（逻辑乘法）。

• 结合性： [math]\displaystyle{ T \circ (S \circ R) = (T \circ S) \circ R }[/math]
• [math]\displaystyle{ X }[/math] 上的关系是幺半群
  • [math]\displaystyle{ R \circ \varnothing = \varnothing }[/math]， [math]\displaystyle{ \varnothing \circ R = \varnothing }[/math]
    • 空关系是复合运算的零元。
    • 一般地，在非齐次的情况下，也有类似性质，只是两侧空关系可能不是相同集合上的。
  • [math]\displaystyle{ R \circ I = R }[/math]，[math]\displaystyle{ I \circ R = R }[/math]
    • 恒等关系是复合运算的单位元。
    • 一般地，在非齐次的情况下，也有类似性质，只是两侧单位关系不同，需要按照所相关的集合调整。
  • [math]\displaystyle{ R \circ I = R }[/math]，[math]\displaystyle{ I \circ R = R }[/math]
  • 对应地，同一关系的复合被定义为关系的幂。
• 如果两个关系都是左全、右全、左唯一或右唯一的，则复合后的关系也具有对应性质。

关系/二元关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	基础运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	函数性运算	对偶（转置、逆） [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{|\bullet} }[/math]

参考资料

1. https://en.wikipedia.org/wiki/Composition_of_relations