左全关系

左全关系
术语名称	左全关系
英语名称	left-total relation
别名	total

左全关系(left-total relation)指一个关系对前域内任意值都有至少一个后域内的值使得关系成立，换句话说其定义域等于其前域。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 到 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 上的关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} R = X }[/math] ，即 [math]\displaystyle{ \forall x \in X \exist y \in Y (x R y) }[/math] ，称关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是左全的(left-total)，或称这样的关系为左全关系(left-total relation)。

性质

1. [math]\displaystyle{ R }[/math] 是左全关系，当且仅当， [math]\displaystyle{ I_X \subseteq R R^\mathrm{T} }[/math] 。
2. [math]\displaystyle{ X }[/math] 到 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 的左全关系上再次复合一个 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 上的全关系，仍然是全关系。若 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 非空，反过来也成立。

关系/二元关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	基础运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	函数性运算	对偶（转置、逆） [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{|\bullet} }[/math]

参考资料

1. Total Relation - Wikipedia
2. 两函数的相等是否要求陪域的相等？ - 栀子忍冬的回答 - 知乎