平方根

开平方
术语名称	开平方
英语名称	square root extraction
别名	开二次方

平方根
术语名称	平方根
英语名称	square root
别名	二次方根

算术平方根
术语名称	算术平方根
英语名称	principal square root,the square root

平方根函数
术语名称	平方根函数
英语名称	square root function

开平方(square root extraction)/开二次方是一个运算方式，类似一元运算，平方的逆运算。 但是开平方操作指获得所有平方得到这个结果的数，因此存在多个值的情况，这些值都称为平方根(square root)/二次方根。 其中非负的结果称为算术平方根(principle square root)。

开平方是根指数固定为 2 的开方运算。

本条目限制在实数范围。对其他更复杂数系，以及其他数以外的数学对象的开方或开根号，参考各自的条目。

定义

算术平方根
运算名称	算术平方根
运算符号	[math]\displaystyle{ \sqrt{\bullet} }[/math]
Latex	\sqrt{}
运算对象	数
运算元数	1
运算结果	数

对非负实数 [math]\displaystyle{ y \in \mathbb{R}_{\geq 0} }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ (\exists x\in \mathbb{R})(y = x^2) }[/math] ，则所有的 [math]\displaystyle{ x }[/math] 合称为 [math]\displaystyle{ y }[/math] 的平方根(square root)，运算称为开平方(square root extraction)。 其中数 [math]\displaystyle{ y }[/math] 称为被开方数、数 2 称为根指数。 由于 0 的平方根只有 0 ，正数的平方根都正负成对出现，非负的平方根称为 [math]\displaystyle{ y }[/math] 的算术平方根(principle square root, the square root)，记作 [math]\displaystyle{ \sqrt{y} }[/math] 。

√
字符	√
Unicode码位	U+221A Square Root
Latex命令序列	\sqrt{}

注：不严谨时也会省略“算术”一词。计算算术平方根也俗称为开根号。

平方根
函数名称	算术平方根函数
函数符号	[math]\displaystyle{ \sqrt{\bullet} }[/math]
Latex	\sqrt{}
类型
定义域	[math]\displaystyle{ [0,+\infty) }[/math]
陪域	[math]\displaystyle{ [0,+\infty) }[/math]

计算算术平方根的运算对应的函数 [math]\displaystyle{ f(x)=\sqrt{x} }[/math] 也称为算术平方根函数或平方根函数(square root function)。

性质

平方根函数只在 [math]\displaystyle{ [0,+\infty) }[/math] 上有定义，是一个双射。在全定义域上严格单调递增。

图像是抛物线 [math]\displaystyle{ x^2=y }[/math] 的上半部分。

特殊指对幂函数
运算	位置	-1	0	1	2	e	3	10
乘方	指数 （幂函数）	倒数函数	0 处无定义 的常函数	恒等函数	平方	e 次方	立方	10 次方
	底数 （指数函数）	奇偶性/ 符号	部分定义 的常函数	常函数	2 的幂	自然指数	3 的幂	10 的幂
开方	根指数	倒数函数	0 处无定义 的常函数	恒等函数	开平方	-	开立方	-
对数	底数 （对数函数）	-	-	-	以 2 为底 的对数	自然对数	以 3 为底 的对数	常用对数