真值表：修订间差异

2025年11月7日 (五) 05:12的版本

真值表
术语名称	真值表
英语名称	truth table

真值表(truth table)是对命题公式，列出其在所有可能解释下真值的表格。真值表是定义逻辑联结词语义、分析命题公式性质的重要工具。

定义

对一个命题公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] ，其中有 [math]\displaystyle{ P_1, P_2, \dots, P_n }[/math] 共 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个命题变元。其真值表是包含所有 [math]\displaystyle{ 2^n }[/math] 种可能指派及其对应公式真值的系统表格。

表格细节

真值表通常包含以下部分：

前 [math]\displaystyle{ n }[/math] 列：列出所有命题变元的真值组合，通常以二进制或二进制倒序排列；
中间列（可选）：若命题公式是含有子公式的复合公式，列出中间步骤的真值；
最后一列：整个公式的真值。

真值表也可以用于多个命题公式，此时最后列出结果的部分每个命题公式一列。

构造方法

从上到下、从左到右，按照类似以下顺序：

确定命题变元的数量 [math]\displaystyle{ n }[/math] ，列出命题变元、需要计算的中间结果、最终结果作为列表头；
计算总行数 [math]\displaystyle{ 2^n }[/math] 并列出所有可能的真值组合（通常按二进制顺序）；
按逻辑联结词的优先级逐步计算中间结果；
最终得到整个公式的真值。

真值组合的排列

为系统化，通常按以下顺序排列真值组合：

对单个变元：真、假。
对两个变元：真真、真假、假真、假假。
对多个变元：按类似二进制计数顺序排列。

每一行真值组合的部分是一个指派，“令 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为真， [math]\displaystyle{ Q }[/math] 为假”，而整行是一个解释，“对形式上符合公式 [math]\displaystyle{ \phi }[/math] 的命题，当 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为真， [math]\displaystyle{ Q }[/math] 为假时，这样的命题都是真命题”。

应用

真值表可以用于：

判定命题公式分类。
证明命题的等值关系。
证明命题的重言蕴含关系。
计算命题公式的主合取范式、主析取范式。
证明逻辑论证有效性。

优缺点

真值表有以下优点：

系统地、固定顺序地列出所有组合。完备地包含公式所有可能情况。
直观展示公式的真值特性。

同时面临以下缺点：

指数爆炸：变元数量增加时，行数指数增长。增长速度为指数级，增长非常快。
语义有限：只能处理经典逻辑真值函数内容。

命题逻辑/零阶逻辑
基本概念	命题	命题、命题变元、命题常量
基本概念	真值	真 [math]\displaystyle{ \mathrm{T} }[/math]/[math]\displaystyle{ 1 }[/math]/[math]\displaystyle{ \top }[/math] 、假 [math]\displaystyle{ \mathrm{F} }[/math]/[math]\displaystyle{ 0 }[/math]/[math]\displaystyle{ \bot }[/math]
命题结构	命题结构	原子命题、复合命题
	逻辑联结词	否定（非） [math]\displaystyle{ \lnot }[/math] 、合取（且/与） [math]\displaystyle{ \land }[/math] 、析取（或） [math]\displaystyle{ \lor }[/math]
	逻辑联结词	蕴涵（推出） [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math] 、等价（当且仅当） [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]
命题公式	形式定义	命题语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_0 }[/math] 、命题公式
	逻辑语义	指派、 Tarski 真理定义、解释、真值表、满足
	语义分类	重言式/永真式、偶然式/仅可满足式/可真可假式、矛盾式/永假式/不可满足式
	语义关系	重言等价/等值/等价 [math]\displaystyle{ = }[/math]/[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] 、重言蕴涵 [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]
	范式	析取范式、合取范式（主析取范式、主合取范式）

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-[[分类:命题逻辑]]
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+|keywords=真值表, 命题逻辑, 逻辑联结词, 真值函数
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-'''真值表'''('''truth table''')指对一个[[命题公式]]，在其中所有命题变元的所有取值可能下，其真值所构成的表格。
+'''真值表'''('''truth table''')是对[[命题公式]]，列出其在所有可能[[解释（命题逻辑）|解释]]下[[真值]]的表格。
+真值表是定义[[逻辑联结词]]语义、分析命题公式性质的重要工具。
 == 定义 ==
-对一个命题公式 <math>A</math> ，其中有 <math>P_1, P_2, \dots, P_n</math> 共 <math>n</math> 个命题变元，按照每个命题变元为真假，一共有 <math>2^n</math> 种[[指派（命题逻辑）|指派]]及对应的[[解释（命题逻辑）|解释]]；将全部 <math>2^n</math> 种解释列成表格，称为命题公式的'''真值表'''('''truth table''')。
-== 举例 ==
+对一个命题公式 <math>A</math> ，其中有 <math>P_1, P_2, \dots, P_n</math> 共 <math>n</math> 个命题变元。
+其'''真值表'''是包含所有 <math>2^n</math> 种可能[[指派（命题逻辑）|指派]]及其对应公式真值的系统表格。
+== 表格细节 ==
+真值表通常包含以下部分：
+* 前 <math>n</math> 列：列出所有命题变元的真值组合，通常以二进制或二进制倒序排列；
+* 中间列（可选）：若命题公式是含有子公式的复合公式，列出中间步骤的真值；
+* 最后一列：整个公式的真值。
+真值表也可以用于多个命题公式，此时最后列出结果的部分每个命题公式一列。
-略。
+=== 构造方法 ===
+从上到下、从左到右，按照类似以下顺序：
+# 确定命题变元的数量 <math>n</math> ，列出命题变元、需要计算的中间结果、最终结果作为列表头；
+# 计算总行数 <math>2^n</math> 并列出所有可能的真值组合（通常按二进制顺序）；
+# 按逻辑联结词的优先级逐步计算中间结果；
+# 最终得到整个公式的真值。
+=== 真值组合的排列 ===
+为系统化，通常按以下顺序排列真值组合：
+* 对单个变元：真、假。
+* 对两个变元：真真、真假、假真、假假。
+* 对多个变元：按类似二进制计数顺序排列。
+每一行真值组合的部分是一个指派，“令 <math>P</math> 为真， <math>Q</math> 为假”，
+而整行是一个解释，“对形式上符合公式 <math>\phi</math> 的命题，当 <math>P</math> 为真， <math>Q</math> 为假时，这样的命题都是真命题”。
 == 应用 ==
-真值表可以用于证明命题的等值或重言蕴含关系。
+真值表可以用于：
+* 判定[[命题公式分类]]。
+* 证明命题的[[等值（逻辑）|等值]]关系。
+* 证明命题的[[重言蕴含]]关系。
+* 计算命题公式的[[范式（命题公式）|主合取范式、主析取范式]]。
+* 证明逻辑论证有效性。
+== 优缺点 ==
+真值表有以下优点：
+* 系统地、固定顺序地列出所有组合。完备地包含公式所有可能情况。
+* 直观展示公式的真值特性。
-真值表可用于计算命题公式的[[范式（命题公式）|主合取范式、主析取范式]]。
+同时面临以下缺点：
+* [[指数爆炸]]：变元数量增加时，行数指数增长。增长速度为指数级，增长非常快。
+* 语义有限：只能处理经典逻辑[[真值函数]]内容。
 {{命题逻辑}}