重言蕴含

重言蕴含
术语名称	重言蕴含
英语名称	tautological implication
别名	逻辑蕴含, logical implication

重言蕴含(tautological implication)指两个命题公式之间，在所有可能的真值指派下，若一个为真则另一个必为真的关系。 或者说若第一个被满足则第二个被满足的关系。 重言蕴含是逻辑蕴含在命题逻辑中的简化形式，故有时也称为逻辑蕴含。

定义

重言蕴含
关系名称	重言蕴含
关系符号	[math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math],[math]\displaystyle{ \vDash }[/math]
Latex	\Rightarrow , \vDash
关系对象	命题公式
关系元数	2
类型	预序

对两个命题公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math] ，其中成员命题变元均为 [math]\displaystyle{ P_1,P_2,\dots,P_n }[/math] ，则两命题公式各存在 [math]\displaystyle{ 2^n }[/math] 个解释。若这 [math]\displaystyle{ 2^n }[/math] 个解释中， [math]\displaystyle{ A }[/math] 为真的解释的相同指派下 [math]\displaystyle{ B }[/math] 也为真，（或者说若 [math]\displaystyle{ \sigma \vDash A }[/math] 则 [math]\displaystyle{ \sigma \vDash B }[/math]），则称命题公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 重言蕴含(logically implies/tautological implies) [math]\displaystyle{ B }[/math] ，记作 [math]\displaystyle{ A \Rightarrow B }[/math] 或 [math]\displaystyle{ A \vDash B }[/math] 。

这一定义也推广为左侧是命题集合的情况，记作 [math]\displaystyle{ A_1, \dots, A_n \Rightarrow B }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \Gamma \vDash_0 B }[/math] 。

性质

命题公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 重言蕴含 [math]\displaystyle{ B }[/math] ，当且仅当条件命题 [math]\displaystyle{ A \rightarrow B }[/math] 为永真式。

命题逻辑/零阶逻辑
基本概念	命题	命题、命题变元、命题常量
	真值	真[math]\displaystyle{ \mathrm{T} }[/math]/[math]\displaystyle{ 1 }[/math]/[math]\displaystyle{ \top }[/math]、假[math]\displaystyle{ \mathrm{F} }[/math]/[math]\displaystyle{ 0 }[/math]/[math]\displaystyle{ \bot }[/math]
逻辑联结词	否定（非）[math]\displaystyle{ \lnot }[/math]、合取（且/与）[math]\displaystyle{ \land }[/math]、析取（或）[math]\displaystyle{ \lor }[/math]
	蕴含（推出）[math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math]、等价（当且仅当）[math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]
命题公式	语义	真值表、指派、解释、满足
	分类	重言式/永真式、偶然式/仅可满足式/可真可假式、矛盾式/永假式/不可满足式
	范式	析取范式、合取范式（主析取范式、主合取范式）
语义关系	等值	等值/等价[math]\displaystyle{ = }[/math]/[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math]、置换
	重言蕴含	重言蕴含[math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]