立方根

开立方
术语名称	开立方
英语名称	cube root extraction
别名	开三次方

立方根
术语名称	立方根
英语名称	cube root
别名	principle cube root, 三次方根

立方根函数
术语名称	立方根函数
英语名称	cube root function

开立方(cube root extraction)/开三次方是一个一元运算，立方的逆运算。其运算结果称为立方根(cube root)/三次方根。

开平方是根指数固定为 3 的开方运算。

本条目限制在实数范围。对其他更复杂数系，以及其他数以外的数学对象的开立方，参考各自的条目。

定义

立方根
运算名称	立方根
运算符号	[math]\displaystyle{ \sqrt[3]{\bullet} }[/math]
Latex	\sqrt[3]{}
运算对象	数
运算元数	1
运算结果	数

对实数 [math]\displaystyle{ y \in \mathbb{R} }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ (\exists x\in \mathbb{R})(y = x^3) }[/math] ，则所有的 [math]\displaystyle{ x }[/math] 合称为 [math]\displaystyle{ y }[/math] 的立方根(cube root)，运算称为开立方(cube root extraction)。 其中数 [math]\displaystyle{ y }[/math] 称为被开方数、数 3 称为根指数。 0 的立方根是 0 ，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，在实数范围内都只存在一个，称为立方根(principle cube root/the cube root) ，记作 [math]\displaystyle{ \sqrt[3]{y} }[/math] 。

∛
字符	∛
Unicode码位	U+221B Cube Root
Latex命令序列	\sqrt[3]{}

立方根
函数名称	立方根函数
函数符号	[math]\displaystyle{ \sqrt[3]{\bullet} }[/math]
运算参数
运算结果
Latex	\sqrt{}
类型
定义域	[math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]
陪域	[math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]

计算立方根的运算对应的函数 [math]\displaystyle{ f(x)=\sqrt[3]{x} }[/math] 也称为立方根函数(cube root function)。

性质

立方根函数是一个双射。立方根是奇函数，在全定义域上严格单调递增。

图像是一条三次抛物线。

特殊指对幂函数
运算	位置	-1	0	1	2	e	3	10
乘方	指数 （幂函数）	倒数函数	0 处无定义 的常函数	恒等函数	平方	e 次方	立方	10 次方
	底数 （指数函数）	奇偶性/ 符号	部分定义 的常函数	常函数	2 的幂	自然指数	3 的幂	10 的幂
开方	根指数	倒数函数	（不良定义）	恒等函数	开平方	1/e 次方	开立方	1/10 次方
对数	底数 （对数函数）	（不良定义）	（不良定义）	（不良定义）	以 2 为底 的对数	自然对数	以 3 为底 的对数	常用对数