子结构（逻辑）
| 子结构 | |
|---|---|
| 术语名称 | 子结构 |
| 英语名称 | substructure |
| 别名 | 子代数, subalgebra |
| 超结构 | |
|---|---|
| 术语名称 | 超结构 |
| 英语名称 | superstructure |
| 别名 | 扩张, extenstion |
一个结构的子结构(substructure)，指论域是子集、解释映射将个体常项映射到同一个体对象、将函项、谓词都映射到对应限制的结构。在代数系统上，称为子结构(substructure)或子代数(subalgebra)。相反的情况称为超结构(superstructure)或扩张(extension)。
定义
对语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] 中的结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} = (A, I) }[/math] ，若给定结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} = (B, J) }[/math] 满足：
- 论域间是子集关系，即 [math]\displaystyle{ B\subseteq A }[/math] ；
- 每个个体常项 [math]\displaystyle{ c }[/math] 解释到同一个体对象，即 [math]\displaystyle{ J(c)=I(c) }[/math] ；
- 每个函项 [math]\displaystyle{ f }[/math] 解释到对应映射的限制，即 [math]\displaystyle{ J(f)=I(f)|_{B^n} }[/math] ；
- 每个谓词 [math]\displaystyle{ p }[/math] 解释到对应关系的限制，即 [math]\displaystyle{ J(p)=I(p) \cap B^n }[/math] 。
则称结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 是结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 的子结构(substructure)，结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{A} }[/math] 是结构 [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] 的超结构(superstructure)或扩张(extension)。