蕴含
| 蕴含 | |
|---|---|
| 术语名称 | 蕴含 |
| 英语名称 | implication |
| 别名 | 实质蕴含, material implication, 实质条件, material conditional |
蕴含(implication)是对两个命题，前者为真时后者必为真，所对应的命题。
定义
| 蕴含 | |
|---|---|
| 运算名称 | 蕴含 |
| 运算符号 | [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math] |
| Latex | \rightarrow
|
| 运算对象 | 命题公式 |
| 运算元数 | 2 |
| 运算结果 | 命题公式
|
| 假言命题 | |
|---|---|
| 术语名称 | 假言命题 |
| 英语名称 | hypothetical proposition |
| 别名 | 条件命题, conditional proposition |
| 前件 | |
|---|---|
| 术语名称 | 前件 |
| 英语名称 | antecedent |
| 别名 | 条件, protasis |
| 后件 | |
|---|---|
| 术语名称 | 后件 |
| 英语名称 | consequent |
| 别名 | 结论, apodosis |
对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Q }[/math] ，记命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 满足：
- 仅当 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为真同时 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 为假时， [math]\displaystyle{ R }[/math] 为假；
- 若命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为假， 命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 为真；
- 若命题 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 为真， 命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 为真。
称这样的命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 为命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 构成的假言命题(hypothetical proposition)或条件命题(conditional proposition)，记为 [math]\displaystyle{ P \rightarrow Q }[/math] ，读作[math]\displaystyle{ P }[/math] 推出 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 或 [math]\displaystyle{ P }[/math] 蕴含 [math]\displaystyle{ Q }[/math]([math]\displaystyle{ P }[/math] implies [math]\displaystyle{ Q }[/math])。其中逻辑联结词 [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math] 称为蕴含词， [math]\displaystyle{ P }[/math] 称为假言命题的前提或前件(antecedent)， [math]\displaystyle{ Q }[/math] 称为假言命题的结论或后件(consequent)。
主联结词为蕴含词的公式称为蕴含式(implicative formula)或条件式(conditional formula)。
真值表
| [math]\displaystyle{ p }[/math] | [math]\displaystyle{ q }[/math] | [math]\displaystyle{ p \rightarrow q }[/math] |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
性质
- 对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math]，有 [math]\displaystyle{ P \rightarrow Q = \lnot P \lor Q }[/math]。
- 若前件为假，则无论后件是真是假，假言命题必为真，称为vacuous truth。
| 逻辑联结词 | ||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 零元 | ||||||||||||||||||
| 真值表 | [math]\displaystyle{ \bot }[/math] | [math]\displaystyle{ \top }[/math] | ||||||||||||||||
| T | F | |||||||||||||||||
| 名称 | 真[math]\displaystyle{ \top }[/math] | 假[math]\displaystyle{ \bot }[/math] | ||||||||||||||||
| 二进制 | 0 | 1 | ||||||||||||||||
| 一元 | ||||||||||||||||||
| 真值表 | [math]\displaystyle{ p }[/math] | [math]\displaystyle{ \bot }[/math] | [math]\displaystyle{ \lnot p }[/math] | [math]\displaystyle{ p }[/math] | [math]\displaystyle{ \top }[/math] | |||||||||||||
| T | F | T | ||||||||||||||||
| F | F | T | F | T | ||||||||||||||
| 名称 | 假[math]\displaystyle{ \bot }[/math] | 否定（非）[math]\displaystyle{ \lnot }[/math] | （恒等映射[math]\displaystyle{ \mathrm{id} }[/math]） | 真[math]\displaystyle{ \top }[/math] | ||||||||||||||
| 缩写 | - | NOT | - | - | ||||||||||||||
| 二进制 | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||||||||
| 二元 | ||||||||||||||||||
| 真值表 | [math]\displaystyle{ p }[/math] | [math]\displaystyle{ q }[/math] | [math]\displaystyle{ \bot }[/math] | [math]\displaystyle{ p \bar{\vee} q }[/math] [math]\displaystyle{ p \downarrow q }[/math] |
[math]\displaystyle{ p \nleftarrow q }[/math] | [math]\displaystyle{ \lnot p }[/math] | [math]\displaystyle{ p \nrightarrow q }[/math] | [math]\displaystyle{ \lnot q }[/math] | [math]\displaystyle{ p \oplus q }[/math] [math]\displaystyle{ p \nleftrightarrow q }[/math] |
[math]\displaystyle{ p \barwedge q }[/math] [math]\displaystyle{ p \uparrow q }[/math] |
[math]\displaystyle{ p \land q }[/math] | [math]\displaystyle{ p \leftrightarrow q }[/math] | [math]\displaystyle{ q }[/math] | [math]\displaystyle{ p \rightarrow q }[/math] | [math]\displaystyle{ p }[/math] | [math]\displaystyle{ p \leftarrow q }[/math] | [math]\displaystyle{ p \lor q }[/math] | [math]\displaystyle{ \top }[/math] |
| T | T | F | T | |||||||||||||||
| F | F | T | F | T | ||||||||||||||
| F | T | F | T | F | T | F | T | F | T | |||||||||
| F | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T | ||
| 名称 | 假 [math]\displaystyle{ \bot }[/math] |
或非 [math]\displaystyle{ \downarrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \bar{\vee} }[/math] |
- | 否定 非 [math]\displaystyle{ \lnot }[/math] |
- | 否定 非 [math]\displaystyle{ \lnot }[/math] |
互斥析取 异或 [math]\displaystyle{ \oplus }[/math]/[math]\displaystyle{ \nleftrightarrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \veebar }[/math] |
与非 [math]\displaystyle{ \uparrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \barwedge }[/math] |
合取 且/与 [math]\displaystyle{ \land }[/math] |
等价 当且仅当 [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math] |
投影映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{proj}_2 }[/math] |
蕴含 推出 [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math] |
投影映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{proj}_1 }[/math] |
- | 析取 或 [math]\displaystyle{ \lor }[/math] |
真 [math]\displaystyle{ \top }[/math] | ||
| 缩写 | - | NOR | - | NOT | NIMPLY | NOT | XOR | NAND | AND | XNOR EQV |
- | IMPLY | - | - | OR | - | ||
| 二进制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | ||