蕴含

蕴含
术语名称	蕴含
英语名称	implication
别名	实质蕴含, material implication, 实质条件, material conditional

蕴含(implication)是对两个命题，前者为真时后者必为真，所对应的命题。

定义

蕴含
运算名称	蕴含
运算符号	[math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math]
Latex	\rightarrow
运算对象	命题公式
运算元数	2
运算结果	命题公式

假言命题
术语名称	假言命题
英语名称	hypothetical proposition
别名	条件命题, conditional proposition

前件
术语名称	前件
英语名称	antecedent
别名	条件, protasis

后件
术语名称	后件
英语名称	consequent
别名	结论, apodosis

对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Q }[/math] ，记命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 满足：

仅当 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为真同时 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 为假时， [math]\displaystyle{ R }[/math] 为假；
若命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为假，命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 为真；
若命题 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 为真，命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 为真。

称这样的命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 为命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 构成的假言命题(hypothetical proposition)或条件命题(conditional proposition)，记为 [math]\displaystyle{ P \rightarrow Q }[/math] ，读作[math]\displaystyle{ P }[/math] 推出 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 或 [math]\displaystyle{ P }[/math] 蕴含 [math]\displaystyle{ Q }[/math]([math]\displaystyle{ P }[/math] implies [math]\displaystyle{ Q }[/math])。其中逻辑联结词 [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math] 称为蕴含词， [math]\displaystyle{ P }[/math] 称为假言命题的前提或前件(antecedent)， [math]\displaystyle{ Q }[/math] 称为假言命题的结论或后件(consequent)。

主联结词为蕴含词的公式称为蕴含式(implicative formula)或条件式(conditional formula)。

真值表

[math]\displaystyle{ p }[/math]	[math]\displaystyle{ q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \rightarrow q }[/math]
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

性质

对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math]，有 [math]\displaystyle{ P \rightarrow Q = \lnot P \lor Q }[/math]。
若前件为假，则无论后件是真是假，假言命题必为真，称为vacuous truth。

命题逻辑/零阶逻辑
基本概念	命题	命题、命题变元、命题常量
基本概念	真值	真[math]\displaystyle{ \mathrm{T} }[/math]/[math]\displaystyle{ 1 }[/math]/[math]\displaystyle{ \top }[/math]、假[math]\displaystyle{ \mathrm{F} }[/math]/[math]\displaystyle{ 0 }[/math]/[math]\displaystyle{ \bot }[/math]
逻辑联结词	否定（非）[math]\displaystyle{ \lnot }[/math]、合取（且/与）[math]\displaystyle{ \land }[/math]、析取（或）[math]\displaystyle{ \lor }[/math]
逻辑联结词	蕴含（推出）[math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math]、等价（当且仅当）[math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]
命题公式	语义	真值表、指派、解释、满足
	分类	重言式/永真式、偶然式/仅可满足式/可真可假式、矛盾式/永假式/不可满足式
	范式	析取范式、合取范式（主析取范式、主合取范式）
语义关系	等值	等值/等价[math]\displaystyle{ = }[/math]/[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math]、置换
语义关系	重言蕴含	重言蕴含[math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]

逻辑联结词
零元
真值表			[math]\displaystyle{ \bot }[/math]								[math]\displaystyle{ \top }[/math]
真值表			T								F
名称			真[math]\displaystyle{ \top }[/math]								假[math]\displaystyle{ \bot }[/math]
二进制			0								1
一元
真值表	[math]\displaystyle{ p }[/math]		[math]\displaystyle{ \bot }[/math]				[math]\displaystyle{ \lnot p }[/math]				[math]\displaystyle{ p }[/math]				[math]\displaystyle{ \top }[/math]
	T		F								T
	F		F				T				F				T
名称			假[math]\displaystyle{ \bot }[/math]				否定（非）[math]\displaystyle{ \lnot }[/math]				（恒等映射[math]\displaystyle{ \mathrm{id} }[/math]）				真[math]\displaystyle{ \top }[/math]
缩写			-				NOT				-				-
二进制			0				1				2				3
二元
真值表	[math]\displaystyle{ p }[/math]	[math]\displaystyle{ q }[/math]	[math]\displaystyle{ \bot }[/math]	[math]\displaystyle{ p \bar{\vee} q }[/math] [math]\displaystyle{ p \downarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \nleftarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ \lnot p }[/math]	[math]\displaystyle{ p \nrightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ \lnot q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \oplus q }[/math] [math]\displaystyle{ p \nleftrightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \barwedge q }[/math] [math]\displaystyle{ p \uparrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \land q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \leftrightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \rightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p }[/math]	[math]\displaystyle{ p \leftarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \lor q }[/math]	[math]\displaystyle{ \top }[/math]
	T	T	F								T
	T	F	F				T				F				T
	F	T	F		T		F		T		F		T		F		T
	F	F	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T
名称			假 [math]\displaystyle{ \bot }[/math]	或非 [math]\displaystyle{ \downarrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \bar{\vee} }[/math]	-	否定非 [math]\displaystyle{ \lnot }[/math]	-	否定非 [math]\displaystyle{ \lnot }[/math]	互斥析取异或 [math]\displaystyle{ \oplus }[/math]/[math]\displaystyle{ \nleftrightarrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \veebar }[/math]	与非 [math]\displaystyle{ \uparrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \barwedge }[/math]	合取且/与 [math]\displaystyle{ \land }[/math]	等价当且仅当 [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]	投影映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{proj}_2 }[/math]	蕴含推出 [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math]	投影映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{proj}_1 }[/math]	-	析取或 [math]\displaystyle{ \lor }[/math]	真 [math]\displaystyle{ \top }[/math]
缩写			-	NOR	-	NOT	NIMPLY	NOT	XOR	NAND	AND	XNOR EQV	-	IMPLY	-	-	OR	-
二进制			0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15