等值（逻辑）
| 等值 | |
|---|---|
| 术语名称 | 等值 |
| 英语名称 | equivalence |
| 别名 | 等价, 重言等值, 重言等价, tautological equivalence, 逻辑等值, 逻辑等价, logical equivalence, logical biconditional |
等值(equivalence)或重言等值、重言等价(tautological equivalence)指两个命题公式在任意指派下的真值都对应相同。 换句话说，两个命题公式等值当且仅当它们具有相同真值表。
重言等价是逻辑等价在命题逻辑中的简化形式，故有时也称为逻辑等价。
形式语言层级上，重言等价涉及对命题真假的判断，是元语言中的谓词，连接两个对象命题公式；与属于对象语言的等价逻辑联结词不同。
定义
| 等值 | |
|---|---|
| 关系名称 | 等值 |
| 关系符号 | [math]\displaystyle{ = }[/math],[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math],[math]\displaystyle{ \equiv }[/math] |
| Latex | =, \Leftrightarrow, \equiv
|
| 关系对象 | 命题公式 |
| 关系元数 | 2 |
| 类型 | 等价关系 |
对两个命题公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math] ，其中成员命题变元均为 [math]\displaystyle{ P_1,P_2,\dots,P_n }[/math] ，则两个命题公式存在 [math]\displaystyle{ 2^n }[/math] 个不同指派。 若这 [math]\displaystyle{ 2^n }[/math] 个指派下，公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的真值都对应相同，则称命题公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math] 等值/等价(equivalent)或重言等价(tautologically equivalent)，或称命题公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math] 是等值公式(equivalent formulas)，记作 [math]\displaystyle{ A=B }[/math] 或 [math]\displaystyle{ A \Leftrightarrow B }[/math] 、 [math]\displaystyle{ A \equiv B }[/math] 。
注：一般为了避免与等式中的等词 [math]\displaystyle{ = }[/math] 混淆、避免与部分材料中用 [math]\displaystyle{ \equiv }[/math] 代替等价 [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math] 的用法混淆，标准场景大多使用符号 [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] 。本 wiki 为输入方便以及与代数系统等领域的主题保持一致，在不引起歧义的情况下均使用 [math]\displaystyle{ = }[/math] 。
性质
- 两命题公式等值，当且仅当两命题公式有相同的真值表。
- 等值关系是一种等价关系：
- 自反性：任意命题公式与自身等值。
- 对称性：任意命题公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ A=B }[/math] 则 [math]\displaystyle{ B=A }[/math] 。
- 传递性：任意命题公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 、 [math]\displaystyle{ B }[/math] 、 [math]\displaystyle{ C }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ A=B }[/math] 且 [math]\displaystyle{ B=C }[/math] 则 [math]\displaystyle{ A=C }[/math] 。
常见等值律
单独分类：分类:命题逻辑常见结论
其中， [math]\displaystyle{ P,Q,R }[/math] 为命题变元， [math]\displaystyle{ \mathrm{T},\mathrm{F} }[/math] 为真值常量真和假。
- 幺元律 [math]\displaystyle{ P\land\mathrm{T}=P,P\lor\mathrm{F}=P }[/math] ；
- 支配律 [math]\displaystyle{ P\land\mathrm{F}=\mathrm{F},P\lor\mathrm{T}=\mathrm{T} }[/math] ；
- 幂等律、重言律 [math]\displaystyle{ P\land P=P,P\lor P = P }[/math] ；
- 双重否定律 [math]\displaystyle{ \lnot\lnot P = P }[/math] ；
- 交换律 [math]\displaystyle{ P\land Q=Q\land P, P\lor Q=Q\lor P }[/math] ；
- 结合律 [math]\displaystyle{ (P\land Q)\land R=P\land(Q\land R),(P\lor Q)\lor R=P\lor(Q\lor R) }[/math] ；
- 分配律 [math]\displaystyle{ P\land(Q\lor R)=(P\land Q)\lor(P\land R),P\lor(Q\land R)=(P\lor Q)\land(P\lor R) }[/math] ，由交换律对另一侧也成立；
- 德·摩根律 [math]\displaystyle{ \lnot(P\land Q) = \lnot P \lor \lnot Q, \lnot(P\lor Q) = \lnot P \land \lnot Q }[/math] ；
- 吸收律 [math]\displaystyle{ P\land(P\lor Q)=P,P\lor(P\land Q)=P }[/math] ，由交换律对另一侧也成立；
- 否定律 [math]\displaystyle{ P\lor\lnot P=\mathrm{T} }[/math] （排中律）、 [math]\displaystyle{ P\land\lnot P=\mathrm{F} }[/math] （矛盾律）。