P-进赋值

p进赋值
术语名称	p进赋值
英语名称	p-adic valuation
别名	p-adic order

[math]\displaystyle{ p }[/math] 进赋值([math]\displaystyle{ p }[/math]-adic valuation)是关于一个质数和一个整数，在恰整除时的最高指数的数论函数。

由于技术原因，标题首字母会被大写。这一术语通常应当以小写字母开头。

在 [math]\displaystyle{ p }[/math] 进数的结构中， [math]\displaystyle{ p }[/math] 进数的 [math]\displaystyle{ p }[/math] 进绝对值可通过 [math]\displaystyle{ p }[/math] 进赋值定义，其与实数上的绝对值有类似结构。

定义

P-进赋值
函数名称	p 进赋值
函数符号	[math]\displaystyle{ \nu_\bullet() }[/math]
Latex	\nu
运算参数	整数
运算结果	扩展自然数集
类型	完全加性函数
定义域	[math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math]
陪域	[math]\displaystyle{ \mathbb{N}\cup\{\infty\} }[/math]

对质数 [math]\displaystyle{ p }[/math] 和整数 [math]\displaystyle{ n }[/math] ，定义函数 [math]\displaystyle{ \nu_p(n) = \begin{cases} k &, n\neq 0, p^k \mathrel{\|} n \\ \infty &, n = 0 \end{cases} }[/math] 称为整数 [math]\displaystyle{ n }[/math] 的 [math]\displaystyle{ p }[/math] 进赋值([math]\displaystyle{ p }[/math]-adic valuation)。

P-进赋值
函数名称	p 进赋值（有理数）
函数符号	[math]\displaystyle{ \nu_\bullet() }[/math]
Latex	\nu
运算参数	有理数
运算结果	整数, 无穷大
类型	完全加性函数
定义域	[math]\displaystyle{ \mathbb{Q} }[/math]
陪域	[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}\cup\{\infty\} }[/math]

定义可以延拓到有理数集上。对质数 [math]\displaystyle{ p }[/math] 和有理数 [math]\displaystyle{ \tfrac{m}{n}, n\neq 0 }[/math] ，可依据其在整数上的取值进一步定义为 [math]\displaystyle{ \nu_p(\tfrac{m}{n}) = \nu_p(m) - \nu_p(n) }[/math] 。特别地，此处需补充定义 [math]\displaystyle{ (\forall k\in \mathbb{Z})(\infty - k = \infty) }[/math] 。

数论函数
分类	加性函数	完全加性函数
	乘性函数	完全乘性函数
性质	Möbius 反演（Möbius 变换、 Möbius 逆变换）
	Dirichlet 卷积
常见数论函数
除数函数 [math]\displaystyle{ \sigma_k(n) }[/math]	除数函数 [math]\displaystyle{ \sigma_0(n) }[/math]/[math]\displaystyle{ \tau(n) }[/math]/[math]\displaystyle{ d(n) }[/math]	除数和函数 [math]\displaystyle{ \sigma_1(n) }[/math]/[math]\displaystyle{ \sigma(n) }[/math]
Euler 函数	Euler 函数 [math]\displaystyle{ \varphi(n) }[/math]	Carmichael 函数 [math]\displaystyle{ \lambda(n) }[/math]
二次剩余相关符号	Legendre 符号 [math]\displaystyle{ (\tfrac{n}{p}) }[/math]	Jacobi 符号 [math]\displaystyle{ (\tfrac{n}{d}) }[/math]
乘法阶数与指标	乘法阶数 [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}_{m} n }[/math]/[math]\displaystyle{ \delta_{m}(n) }[/math]	指标 [math]\displaystyle{ \operatorname{ind}_{g} n }[/math]/[math]\displaystyle{ \gamma_{m,g}(n) }[/math]
其他	相异质因子个数函数 [math]\displaystyle{ \omega(n) }[/math]	质因子个数函数 [math]\displaystyle{ \Omega(n) }[/math]、Liouville 函数 [math]\displaystyle{ \lambda(n) }[/math]
	质数计数函数 [math]\displaystyle{ \pi(n) }[/math]	Чебышёв 第一函数 [math]\displaystyle{ \theta(n) }[/math]、第二函数 [math]\displaystyle{ \psi(n) }[/math]、Mangoldt 函数 [math]\displaystyle{ \Lambda(n) }[/math]
	Möbius 函数 [math]\displaystyle{ \mu(n) }[/math]
	Dirichlet 特征 [math]\displaystyle{ \chi(n;m) }[/math]