严格弱序

严格弱序
术语名称	严格弱序
英语名称	strict weak ordering

严格弱序(strict weak ordering)指集合上的一个二元关系是一个严格偏序，且其构成的不可比关系传递。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ P }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ \prec }[/math] ，如果是一个预序、且有完全性，即满足：

• 反自反性： [math]\displaystyle{ \forall a \in P (\lnot(a \prec a)) }[/math]
• 传递性： [math]\displaystyle{ \forall a \forall b \forall c (a \prec b \land b \prec c \rightarrow a \prec c) }[/math]
• 不对称性：[math]\displaystyle{ \forall a \forall b (a \prec b \rightarrow \lnot (b \prec a)) }[/math]
• 不可比的传递性：[math]\displaystyle{ \forall a \forall b \forall c (\lnot(a \prec b \lor b\prec a) \land \lnot(b\prec c \lor c\prec b) \rightarrow \lnot(a\prec c \lor c\prec a)) }[/math]

称关系 [math]\displaystyle{ \prec }[/math] 为一个严格弱序(strict weak order)。

全序划分定义

以下定义与上述定义等价。

对集合 [math]\displaystyle{ P }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ \precsim }[/math] 若满足，若存在其一个划分 [math]\displaystyle{ \mathcal{P} = \{P_1, P_2, \dots\} }[/math] 上的严格全序 [math]\displaystyle{ \lt }[/math] ，使得 [math]\displaystyle{ (\forall p_1 \in P_1) (\forall p_2 \in P_2) (p_1 \prec p_2 \leftrightarrow (P_1 \lt P_2)) }[/math] ，则称关系 [math]\displaystyle{ \prec }[/math] 为一个严格弱序(weak order)。

关系/二元关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	基础运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	函数性运算	对偶（转置、逆） [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{|\bullet} }[/math]

二元关系复合类型
名称	自反、反自反	对称、反对称	传递	其他
预序	自反	-	传递	-
等价关系	自反	对称	传递	-
方向	自反	-	传递	有上/下界
偏序	自反	反对称	传递	-
弱序/全序划分	自反	-	传递	完全
全序	自反	反对称	传递	完全
良序	自反	反对称	传递	完全、良基
不对称	反自反	反对称	-	-
拟序/严格偏序	反自反	反对称	传递	-
严格弱序/严格全序划分	反自反	反对称	传递	不可比关系传递
严格全序	反自反	反对称	传递	完全