整数加群

整数加群
术语名称	整数加群
英语名称	additive group of integers
别名	整数加法群

整数加群
对象名称	整数加群
对象记号	[math]\displaystyle{ (\mathbb{Z},+) }[/math],[math]\displaystyle{ \mathbb{Z}^+ }[/math]
Latex	\mathbb{Z}^+
对象类别	交换群

整数加群(additive group of integers)指整数集 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] 上通过整数集加法 [math]\displaystyle{ + }[/math] 构成的交换群，记作 [math]\displaystyle{ (\mathbb{Z},+) }[/math] ， [math]\displaystyle{ (\mathbb{Z},+,0) }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}^+ }[/math] 。

• 良定义、封闭性。
• 加法结合律。
• 加法交换律。
• 有幺元 0 。
• 有逆元即相反数。

是由 1 或 -1 生成的无限循环群。

整数加群的子群一定有陪集 [math]\displaystyle{ n\mathbb{Z} }[/math] 形式，如偶数加群。

交换群的子群一定是正规子群，整数加群对其的商群是模 n 剩余类加法群。

任意两个子群间满足 [math]\displaystyle{ a\mathbb{Z} + b\mathbb{Z} = \operatorname{gcd}(a,b) \mathbb{Z} }[/math] （等价于 Bézout 定理），以及 [math]\displaystyle{ a\mathbb{Z} \cup b\mathbb{Z} = \operatorname{lcm}(a,b) \mathbb{Z} }[/math] 。可推广到多个子群间。