成员关系

成员关系
术语名称	成员关系
英语名称	membership
别名	属于关系, belonging

成员关系(membership)，也叫属于关系，表示一个对象是一个集合的元素。

记号

成员关系
关系名称	成员关系
关系符号	[math]\displaystyle{ \in }[/math]
Latex	\in
关系对象	对象, 集合
关系元数	2

元素 [math]\displaystyle{ a }[/math] 是集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的元素，称“[math]\displaystyle{ a }[/math] 属于 [math]\displaystyle{ A }[/math] ([math]\displaystyle{ a }[/math] belongs to [math]\displaystyle{ A }[/math] / [math]\displaystyle{ a }[/math] is in [math]\displaystyle{ A }[/math])”或者“[math]\displaystyle{ a }[/math] 是 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的元素/成员 ([math]\displaystyle{ a }[/math] is an element of [math]\displaystyle{ A }[/math] / [math]\displaystyle{ a }[/math] is a member of [math]\displaystyle{ A }[/math])”，记作[math]\displaystyle{ a\in A }[/math]。

成员关系（否定）
关系名称	成员关系（否定）
关系符号	[math]\displaystyle{ \notin }[/math]
Latex	\notin
关系对象	对象, 集合
关系元数	2

相反，[math]\displaystyle{ a }[/math] 不是集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的元素，称“[math]\displaystyle{ a }[/math] 不属于 [math]\displaystyle{ A }[/math]([math]\displaystyle{ a }[/math] does not belong to [math]\displaystyle{ A }[/math] / [math]\displaystyle{ a }[/math] is not in [math]\displaystyle{ A }[/math])”或者“[math]\displaystyle{ a }[/math] 不是 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的元素/成员 ([math]\displaystyle{ a }[/math] is not an element of [math]\displaystyle{ A }[/math] / [math]\displaystyle{ a }[/math] is not a member of [math]\displaystyle{ A }[/math])”，记作[math]\displaystyle{ a\notin A }[/math]。

∈
字符	∈
Unicode码位	U+2208 Element of
Latex命令序列	\in

∉
字符	∉
Unicode码位	U+2209 Not an Element of
Latex命令序列	\notin

性质

• 对于任意集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 及其元素 [math]\displaystyle{ x }[/math]，有 [math]\displaystyle{ x \in A }[/math]。
  • 对空集 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math] 和任意 [math]\displaystyle{ x }[/math]，有 [math]\displaystyle{ x \notin \varnothing }[/math]。
  • 在谈论某个范围时，对全集 [math]\displaystyle{ U }[/math] 和谈论的任意 [math]\displaystyle{ x }[/math]，有 [math]\displaystyle{ x \in U }[/math]。

琐事

符号来源

The symbol ∈ was first used by Giuseppe Peano, in his 1889 work Arithmetices principia, nova methodo exposita. Here he wrote on page X:

Signum ∈ significat est. Ita a ∈ b legitur a est quoddam b; …

The symbol itself is a stylized lowercase Greek letter epsilon ("ϵ"), the first letter of the word ἐστί, which means "is".

-- Element - Wikipedia

似乎可以说明符号来自小写epsilon的变体（"ϵ"），来自ἐστί的首字母（esti，与拉丁语 est、英语 is 同源）。

变体

除了正向的形式外，也有较少用的反向形式 [math]\displaystyle{ A\ni a }[/math] 和 [math]\displaystyle{ A\not\ni a }[/math] 。 此时读 contains，但这个词同时指含有元素和包含子集的歧义，需要谨慎使用。

∋
字符	∋
Unicode码位	U+220B Contains as Member
Latex命令序列	\ni

∌
字符	∌
Unicode码位	U+220C Does Not Contain as Member
Latex命令序列	\not\ni , \notni

集合
特殊集合	空集[math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、全集
关系	成员关系/属于[math]\displaystyle{ \in }[/math]
	包含关系/子集/超集[math]\displaystyle{ \subseteq }[/math]、真包含关系/真子集/真超集[math]\displaystyle{ \subset }[/math]、相等关系[math]\displaystyle{ = }[/math]
运算	基础运算	交集[math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并集[math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补集[math]\displaystyle{ \bullet^\complement }[/math]（差集[math]\displaystyle{ \setminus }[/math]）
	复合运算	对称差集[math]\displaystyle{ \triangle }[/math]
	笛卡尔积运算	笛卡尔积[math]\displaystyle{ \times }[/math]、笛卡尔幂[math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]、幂集[math]\displaystyle{ \mathcal{P}(\bullet)/2^\bullet }[/math]、映射的集合[math]\displaystyle{ \bullet^\bullet }[/math]
	不交并运算	不交并[math]\displaystyle{ \sqcup }[/math]
	商运算	商集[math]\displaystyle{ \bullet/\sim }[/math]