幂集

幂集
术语名称	幂集
英语名称	power set
别名	powerset

幂集(power set)是对一个集合，由其所有子集构成的新的集合。

定义

幂集
运算名称	幂集
运算符号	[math]\displaystyle{ \mathcal{P}(\bullet) }[/math],[math]\displaystyle{ 2^\bullet }[/math]
Latex	\mathcal{P}, 2^
运算对象	集合
运算元数	1
运算结果	集族

对集合 [math]\displaystyle{ A }[/math]，它的所有子集所构成的集族叫做 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的幂集(power set, powerset)，记作 [math]\displaystyle{ \mathcal{P}(A) }[/math]。即： [math]\displaystyle{ \mathcal{P}(A) = \left\{ X \mid X \subseteq A \right\} }[/math]。

其中字母 P 使用的字体在不同的标准下可能有差异，有人记作 [math]\displaystyle{ \mathbb{P}(A) }[/math]、 [math]\displaystyle{ \wp(A) }[/math] ，也有人直接记作 [math]\displaystyle{ P(A) }[/math] 。

也有人记作 [math]\displaystyle{ 2^A }[/math]。

性质

1. [math]\displaystyle{ A \in \mathcal{P}(B) \Leftrightarrow A \subseteq B }[/math]
2. 对于任意一个集合 [math]\displaystyle{ S }[/math]，它的幂集的势为 [math]\displaystyle{ |2^S| = 2^{|S|} }[/math] 。适用于有限和无限集合，在无限场景下也依此规则定义更大的基数。
   • 总是有 [math]\displaystyle{ \operatorname{card}(2^S) \lt 2^{\operatorname{card} S} }[/math] 。
3. 平凡子集，即空集和原集合，总是幂集中的元素。

集合
特殊集合	空集 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、全集
关系	成员关系/属于 [math]\displaystyle{ \in }[/math]
	包含关系/子集/超集 [math]\displaystyle{ \subseteq }[/math]、真包含关系/真子集/真超集 [math]\displaystyle{ \subset }[/math]、相等关系 [math]\displaystyle{ = }[/math]
运算	基础运算	交集 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并集 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补集 [math]\displaystyle{ \bullet^\complement }[/math]（差集 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]）
	复合运算	对称差集 [math]\displaystyle{ \triangle }[/math]
	笛卡尔积运算	笛卡尔积 [math]\displaystyle{ \times }[/math]、笛卡尔幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]、幂集 [math]\displaystyle{ \mathcal{P}(\bullet) }[/math]/[math]\displaystyle{ 2^\bullet }[/math]、映射的集合 [math]\displaystyle{ \bullet^\bullet }[/math]
	不交并运算	不相交并集 [math]\displaystyle{ \sqcup }[/math]
	商运算	商集 [math]\displaystyle{ \bullet/\sim }[/math]