相等关系（集合）

相等关系
术语名称	相等关系
英语名称	equality

相等关系(equality)，表示两个集合含有相同元素。两个有相同元素的集合视为同一数学对象。

一般被描述为两个集合互为子集。

定义

相等关系
关系名称	相等关系
关系符号	[math]\displaystyle{ = }[/math]
Latex	=
关系对象	集合
关系元数	2
类型	等价关系

给定集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 、 [math]\displaystyle{ B }[/math] ，当 [math]\displaystyle{ A \subseteq B \land B \subseteq A }[/math] 时， 称集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 等于(equals / is equal to) [math]\displaystyle{ B }[/math] ，记作 [math]\displaystyle{ A = B }[/math]。 此时集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的元素都是集合 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的元素，集合 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的元素也都是集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 的元素。

相对的情况相应地记作 [math]\displaystyle{ A \neq B }[/math]，称为“不等于(is not equal to)”。

说明：子集意味着一个集合的元素都是另一个集合的元素，互为子集意味着两个集合的元素相同，因此作为相等的定义。

性质

• 由定义，如果 [math]\displaystyle{ x \in A }[/math] 且 [math]\displaystyle{ A = B }[/math]，那么 [math]\displaystyle{ x \in B }[/math]。
• 相等关系是一种等价关系。
  • 自反性：对于任意一个集合 [math]\displaystyle{ A }[/math]， [math]\displaystyle{ A = A }[/math]。
  • 对称性：如果 [math]\displaystyle{ A = B }[/math]，那么 [math]\displaystyle{ B = A }[/math]。
  • 传递性：如果 [math]\displaystyle{ A = B }[/math] 且 [math]\displaystyle{ B = C }[/math]，那么 [math]\displaystyle{ A = C }[/math]。

集合
特殊集合	空集 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、全集
关系	成员关系/属于 [math]\displaystyle{ \in }[/math]
	包含关系/子集/超集 [math]\displaystyle{ \subseteq }[/math]、真包含关系/真子集/真超集 [math]\displaystyle{ \subset }[/math]、相等关系 [math]\displaystyle{ = }[/math]
运算	基础运算	交集 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并集 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补集 [math]\displaystyle{ \bullet^\complement }[/math]（差集 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]）
	复合运算	对称差集 [math]\displaystyle{ \triangle }[/math]
	笛卡尔积运算	笛卡尔积 [math]\displaystyle{ \times }[/math]、笛卡尔幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]、幂集 [math]\displaystyle{ \mathcal{P}(\bullet) }[/math]/[math]\displaystyle{ 2^\bullet }[/math]、映射的集合 [math]\displaystyle{ \bullet^\bullet }[/math]
	不交并运算	不相交并集 [math]\displaystyle{ \sqcup }[/math]
	商运算	商集 [math]\displaystyle{ \bullet/\sim }[/math]