Venn 图

维恩图
术语名称	维恩图
英语名称	Venn diagram
别名	韦恩图, 文氏图

Venn 图(Venn diagram)是用平面上的闭合曲线（通常是圆形）表示集合及集合间关系的图示方法。

定义

Venn 图使用平面上的闭合曲线（通常为圆形或椭圆形）来表示集合，用曲线内部的区域表示集合的元素，用曲线外部的区域表示不属于该集合的元素。

多个集合的 Venn 图中，不同曲线的重叠区域表示集合间的交集关系。

绘制规则

• 每个集合用一个闭合曲线表示
• 曲线的重叠区域表示对应集合的交集
• 所有曲线的外部区域表示不属于任何这些集合的元素
• 当表示全集时，通常用一个矩形边界包含所有曲线

表示能力

• 能够清晰表示 2~3 个集合的交、并、补等基本关系
• 对于 4 个及以上集合，使用标准圆形会变得复杂，需要特殊构造
• 在表示多于 5 个集合时，通常使用其他图示方法替代

能够直观展示集合运算的结果，如：

• 交集：重叠区域
• 并集：所有曲线覆盖的区域
• 补集：曲线外部但在矩形边界内的区域
• 差集：一个曲线内部但不与其他特定曲线重叠的区域

Euler 图

欧拉图
术语名称	欧拉图
英语名称	Euler diagram

Euler 图(Euler diagram)是 Venn 图的推广，不要求所有可能的交集区域都必须出现。

主要区别：

• Venn 图：必须显示所有可能的交集区域，即使某些区域为空
• Euler 图：只显示实际存在的交集关系，空交集对应的区域可以省略

例子

两个集合

• 用两个部分重叠的圆表示集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math] ，外部方框表示全集 [math]\displaystyle{ U }[/math]
• 重叠部分：交集 [math]\displaystyle{ A \cap B }[/math]
• 所有圆内部分：并集 [math]\displaystyle{ A\cup B }[/math]
• 不重叠部分：差集 [math]\displaystyle{ A\setminus B }[/math]
• 两个不重叠加起来：对称差 [math]\displaystyle{ A\triangle B }[/math]

三个集合

• 用三个两两重叠的圆表示
• 产生 8 个区域，对应所有可能的交集组合

更多集合

由于圆形比较规则，区域数有限，无法表达四个及以上的，一般会使用更加复杂的形状。四个集合的 Venn 图一般使用两对倾斜的椭圆。产生 16 个区域。

应用范围

Venn 图广泛应用于以下几个数学分支：

• 集合论，用于分析集合间交集情况
• 逻辑学，用于分析条件是否同时成立的关系
• 概率论，用于分析多个事件是否发生的关系

集合
特殊集合	空集 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、全集
关系	成员关系/属于 [math]\displaystyle{ \in }[/math]
	包含关系/子集/超集 [math]\displaystyle{ \subseteq }[/math]、真包含关系/真子集/真超集 [math]\displaystyle{ \subset }[/math]、相等关系 [math]\displaystyle{ = }[/math]
运算	基础运算	交集 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并集 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补集 [math]\displaystyle{ \bullet^\complement }[/math]（差集 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]）
	复合运算	对称差集 [math]\displaystyle{ \triangle }[/math]
	笛卡尔积运算	笛卡尔积 [math]\displaystyle{ \times }[/math]、笛卡尔幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]、幂集 [math]\displaystyle{ \mathcal{P}(\bullet) }[/math]/[math]\displaystyle{ 2^\bullet }[/math]、映射的集合 [math]\displaystyle{ \bullet^\bullet }[/math]
	不交并运算	不相交并集 [math]\displaystyle{ \sqcup }[/math]
	商运算	商集 [math]\displaystyle{ \bullet/\sim }[/math]

琐事

历史

Venn 图由英国逻辑学家约翰·维恩（John Venn）在 1880 年左右的著作中系统引入并推广，因此得名。

类似的图示方法更早由 Leibniz 和 Euler 等人使用，但 Venn 使其系统化并广泛应用。