良基关系

良基关系
术语名称	良基关系
英语名称	well-founded relation

良基关系(well-founded relation)是指一个二元关系中，任何一个非空子集中都存在极小元。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ (\forall S \subseteq A) (S\neq\varnothing \rightarrow (\exists s \in S) (\forall s' \in S) (s'\neq s \rightarrow \lnot s' R s)) }[/math] ，称 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是一个良基关系(well-founded relation)，也称这一关系是良基的(well-founded)。

注：根据是否自反，也有的定义不要求 [math]\displaystyle{ s' \neq s }[/math] 。

归纳定义

[math]\displaystyle{ A }[/math] 中满足下列条件（可 [math]\displaystyle{ R }[/math]-归纳）的子集 [math]\displaystyle{ S }[/math] 只有 [math]\displaystyle{ A }[/math] 本身。

[math]\displaystyle{ (\forall a\in A) ((\forall t\in A) (t R a \rightarrow t\in S) \rightarrow a \in S) }[/math]

下降链定义

关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是良基的当且仅当不存在无穷下降链 [math]\displaystyle{ a_0, a_1, a_2, \cdots }[/math] 满足 [math]\displaystyle{ x_{n+1} R x_n }[/math] 。

性质

• 基本特征
  • 良基关系不允许无穷下降链；
  • 每个非空子集都有极小元；
  • 良基关系不一定是传递的、自反的或反对称的。

关联

• 每个良序都是良基关系。
• 每个严格偏序如果是良基的，则称为良基偏序。

关联概念

良基归纳法

设 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 上的良基关系， [math]\displaystyle{ P }[/math] 是 [math]\displaystyle{ A }[/math] 上的性质。 如果有： [math]\displaystyle{ \forall (a \in A) ((\forall b \in A \ (b R a \rightarrow P(b))) \rightarrow P(a)) }[/math] 则可推出 [math]\displaystyle{ (\forall a \in A) (P(a)) }[/math] 成立。

良基递归

设 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 上的良基关系，可以在 [math]\displaystyle{ A }[/math] 上递归定义函数 [math]\displaystyle{ f }[/math] ： [math]\displaystyle{ f(a) = G(a, f_{|\{b \in A \mid b R a\}}) }[/math] 其中 [math]\displaystyle{ G }[/math] 是给定的函数。

关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
二元齐次关系类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	集合运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	类映射运算	转置/逆 [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{|\bullet} }[/math]
	闭包运算	自反 [math]\displaystyle{ \operatorname{r}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^= }[/math]、对称 [math]\displaystyle{ \operatorname{s}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^\sim }[/math]、传递 [math]\displaystyle{ \operatorname{t}() }[/math]/[math]\displaystyle{ \bullet^+ }[/math]、自反传递 [math]\displaystyle{ \bullet^* }[/math]、等价 [math]\displaystyle{ \bullet^\equiv }[/math]