交（关系）

交关系
术语名称	交关系
英语名称	intersection relation
别名	交, intersection

交关系(intersection relation)指两个或多个关系作为子集的交集，也是“同时有这些关系”构成的新的关系，简称交。

定义

二元关系的交

交关系
运算名称	交关系
运算符号	[math]\displaystyle{ \cap }[/math]
Latex	\cap
运算对象	关系
运算元数	2
运算结果	关系
结构	布尔代数
定义域	[math]\displaystyle{ \mathcal{P}(X \times Y)\times \mathcal{P}(X \times Y) }[/math]
陪域	[math]\displaystyle{ \mathcal{P}(X \times Y) }[/math]

对集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 上的两个关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 、 [math]\displaystyle{ S }[/math] ，记交集 [math]\displaystyle{ R \cap S = \left\{ (x, y) \in X \times Y \mid (x, y) \in R \land (x, y) \in S \right\} = \left\{ (x, y) \mid x R y \land x S y \right\} }[/math] ，称为 [math]\displaystyle{ R }[/math] 与 [math]\displaystyle{ S }[/math] 的交关系(intersection relation)，简称交(intersection)。

类似地，可以定义多个关系的交集。 对集合 [math]\displaystyle{ X }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Y }[/math] 上的关系 [math]\displaystyle{ R_1, R_2, \dots, R_n }[/math] ，记交集 [math]\displaystyle{ R_1 \cap R_2 \cap \dots \cap R_n = \left\{ (x, y) \mid (x, y) \in R_1 \land (x, y) \in R_2 \land \dots \land (x, y) \in R_n \right\} = \left\{ (x, y) \mid x R_1 y \land x R_2 y \land \dots \land x R_n y \right\} }[/math] ，称为 [math]\displaystyle{ R_1,R_2,\dots,R_n }[/math] 的交关系(intersection relation)或交(intersection)。

多元关系的交

对集合 [math]\displaystyle{ A_1, \cdots, A_n }[/math] 上的两个多元关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 、 [math]\displaystyle{ S }[/math] 的交集为两个关系的交关系。

类似地，可以定义多个多元关系的交集。

性质

• 交关系是关系交集运算的结果，满足交集的所有性质。见集合交集的性质。
• 两个关系的交的关系矩阵与两个关系矩阵之间的关系，相当于逐元素取对应两个元素的逻辑与（逻辑积）。

关系/二元关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	集合运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	类映射运算	转置/逆 [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{|\bullet} }[/math]