重言蕴涵

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重言蕴含
术语名称	重言蕴含
英语名称	tautological implication
别名	逻辑蕴含, logical implication

重言蕴含(tautological implication)指两个命题公式在任意指派下，若第一个为真则另一个必为真的关系。 或者说若第一个被满足则第二个被满足的关系。

重言蕴含是逻辑蕴含在命题逻辑中的简化形式，故有时也称为逻辑蕴含。

形式语言层级上，重言蕴含涉及对命题真假的判断，是元语言中的谓词，连接两个对象命题公式；与属于对象语言的蕴含逻辑联结词不同。

定义

重言蕴含
关系名称	重言蕴含
关系符号	[math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math],[math]\displaystyle{ \vDash }[/math]
Latex	\Rightarrow, \vDash
关系对象	命题公式
关系元数	2
类型	预序

对两个命题公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math] ，其中成员命题变元均为 [math]\displaystyle{ P_1,P_2,\dots,P_n }[/math] ，则两命题公式存在 [math]\displaystyle{ 2^n }[/math] 个不同指派。 若这 [math]\displaystyle{ 2^n }[/math] 个指派下，公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 为真时 [math]\displaystyle{ B }[/math] 也为真，或者说若 [math]\displaystyle{ \sigma \vDash A }[/math] 则 [math]\displaystyle{ \sigma \vDash B }[/math] ，则称命题公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 重言蕴含(logically imply/tautologically imply)公式 [math]\displaystyle{ B }[/math] ，记作 [math]\displaystyle{ A \Rightarrow B }[/math] 。也记作 [math]\displaystyle{ A \vDash B }[/math] 。

这一定义也推广为左侧是命题集合的情况，记作 [math]\displaystyle{ A_1, \dots, A_n \Rightarrow B }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \Gamma \vDash_0 B }[/math] 。其中记号 [math]\displaystyle{ \vDash_0 }[/math] 的下标指在 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_0 }[/math] 中全体指派中可推出。

性质

• 命题公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 重言蕴含 [math]\displaystyle{ B }[/math] ，当且仅当条件命题 [math]\displaystyle{ A \rightarrow B }[/math] 为永真式。
• 两命题公式等值（重言等价），当且仅当两命题公式互相重言蕴含。
• 等值关系符合以下性质：
• 自反性：对任意公式[math]\displaystyle{ A }[/math]，有[math]\displaystyle{ A \Rightarrow A }[/math] ；
• 传递性：若 [math]\displaystyle{ A \Rightarrow B }[/math]且[math]\displaystyle{ B \Rightarrow C }[/math] ，则 [math]\displaystyle{ A \Rightarrow C }[/math] 。

常见重言蕴含关系

单独分类：

在自然演绎系统中，重言蕴含对应着形式上能否形式推导，推理规则对应特定的重言蕴含关系。

命题逻辑/零阶逻辑
基本概念	命题	命题、命题变元、命题常量
	真值	真 [math]\displaystyle{ \mathrm{T} }[/math]/[math]\displaystyle{ 1 }[/math]/[math]\displaystyle{ \top }[/math] 、假 [math]\displaystyle{ \mathrm{F} }[/math]/[math]\displaystyle{ 0 }[/math]/[math]\displaystyle{ \bot }[/math]
命题结构	命题结构	原子命题、复合命题
	逻辑联结词	否定（非） [math]\displaystyle{ \lnot }[/math] 、合取（且/与） [math]\displaystyle{ \land }[/math] 、析取（或） [math]\displaystyle{ \lor }[/math]
		蕴涵（推出） [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math] 、等价（当且仅当） [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]
命题公式	形式定义	命题语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_0 }[/math] 、命题公式
	逻辑语义	指派、 Tarski 真理定义、解释、真值表、满足
	语义分类	重言式/永真式、偶然式/仅可满足式/可真可假式、矛盾式/永假式/不可满足式
	语义关系	重言等价/等值/等价 [math]\displaystyle{ = }[/math]/[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] 、重言蕴涵 [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]
	范式	析取范式、合取范式（主析取范式、主合取范式）