双射一进制
| 双射一进制 | |
|---|---|
| 术语名称 | 双射一进制 |
| 英语名称 | bijective base-1 numeral system |
| 别名 | 一进制, unary numeral system |
类似于“正”字记数法等记数方法，通过与被表示数量中的每个 1 一一对应的符号记数。由于其满足只具有一个符号的“遍历全部可能排列后向前进一位”的规则，满足基数为 1 的双射进位制记数法的记数规则，被称为双射一进制(bijective base-1 numeral system)。
由于标准的进位制记数法要求基数至少为 2 ，真正满足“[math]\displaystyle{ r=1 }[/math]”的“ [math]\displaystyle{ r }[/math] 进制”并不存在，双射一进制也常被简称为一进制(unary numeral system)。
在严格定义上，位值制记数法要求相同符号在每个数位上代表的数值有差异，但双射一进制中没有这一差异，所以应当分类为符值制记数法，而不是一种合格的位值制记数法。实践上来说，由于数学形式上的双向转换均完全符合 [math]\displaystyle{ r=1 }[/math] 的双射进制的形式，也可以不单独处理。
双射一进制的本质是直接用符号映射数量，因此，东亚地区使用的“正”字记数法（“正”字的五个笔画每个是一个符号），欧美使用的计数符号(tally marks)记数法（有两种。欧洲及北美地区，先画四条竖线，再画一条斜线或横线穿过作为整体。法国、西班牙、葡萄牙及拉美地区，前四笔画方块，第五笔画一条对角线），通常都被视为这种记数法的实例。
定义
基数为 1 的双射进位制记数法称为双射一进制记数法(bijective base-1 numeral system)。其核心规则为：
- 符号集仅包含一个符号，习惯记为 1 ；
- 数值 [math]\displaystyle{ n }[/math] 表示为 [math]\displaystyle{ n }[/math] 个连续的 1 ；
- 数值 0 表示为空串。
表示
双射一进制中的每一位只含有一个符号，记作 [math]\displaystyle{ 1 }[/math] 。一个双射一进制数将直接由一串 1 构成，如 [math]\displaystyle{ 111111 }[/math] 。
现实场景中，由于大量的相同符号不便于人类视觉快速识别，“正”字记数法、 tally marks 等符号系统是常见的非数学符号的表示方式。其中的每一笔代表一个单位的增长，五个一组的分段纯粹是为了方便人类视觉快速认读，但是不改变其“每个基本符号与一个单位对应”的数学本质。
数值及转换
转换工具
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位权
双射一进制中，位权是 [math]\displaystyle{ \cdots,1^3,1^2,1 }[/math] ，也就是说任何一位的位权都为 1 。但是所有位上的位权一致本身会使其不满足对位值制记数法的一般定义。
符值
双射一进制中的每个符号都代表数值“1”，其数值总是所有符号的重复累加，因此也是一种仅含加性记号的符值制记数法。
一些常见数值表示
| 整数（十进制） | 双射一进制 |
|---|---|
| 0 | [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] （空串） |
| 1 | 1 |
| 2 | 11 |
| 3 | 111 |
| 4 | 1111 |
| 5 | 11111 |
| 6 | 111111 |
| 7 | 1111111 |
| 8 | 11111111 |
| 9 | 111111111 |
| 10 | 1111111111 |
| 11 | 11111111111 |
| 12 | 111111111111 |
| 13 | 1111111111111 |
| 14 | 11111111111111 |
| 15 | 111111111111111 |
| 记数系统 | ||||
|---|---|---|---|---|
| 位值制 记数法 |
进位制记数法/标准位值制记数法（进制） | 二进制、八进制、十进制、十六进制、…… | ||
| 非标准 位值制 记数法 |
符号数字 进位制记数法 |
平衡进位制记数法 （平衡进制） |
平衡三进制、…… | |
| 双射进位制记数法 （双射进制） |
双射十进制、双射二十六进制、…… | |||
| 位权是幂 但基数不是自然数 （非自然数进制） |
[math]\displaystyle{ -2 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ -4 }[/math] 、…… | |||
| [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt{3} }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt[12]{2} }[/math] 、…… | ||||
| [math]\displaystyle{ 2i }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt[4]{2}i }[/math] 、 [math]\displaystyle{ 2\omega }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt[3]{2}\omega }[/math] 、 [math]\displaystyle{ -1\pm i }[/math] 、…… | ||||
| 位权不是幂 | 存在基数 （混合进制） |
二五混合进制、阶乘进制、…… | ||
| 广义位值制记数法 | [math]\displaystyle{ p }[/math]-进数 | |||
| 质数记数法、…… | ||||
| 符值制记数法 | （双射）一进制、罗马记数法、希腊记数法、…… | |||