罗马记数法
| 罗马记数法 | |
|---|---|
| 术语名称 | 罗马记数法 |
| 英语名称 | Roman numeral system |
| 罗马数字 | |
|---|---|
| 术语名称 | 罗马数字 |
| 英语名称 | Roman numeral |
罗马记数系统(Roman numeral system)指古罗马使用的一种符值制记数法，是一种基于 10 的幂的记数法。使用罗马记数法的数字称为罗马数字(Roman numeral)。这种记数法起源于古罗马，在中世纪曾被大部分欧洲使用，尽管由于不适合运算逐渐被使用阿拉伯数字的十进制记数系统替代，仍然在钟表、序号、年份等场合使用。
表示
罗马数字有多种形式，现今通用的在以下列为标准形式，但历史上也存在一些变体。
标准形式（小于 4000 部分）
- 罗马数字使用以下 7 个拉丁字母作为基本符号。规则见下表。
- 数值按照十进制数的每一位拆分成一个部分，将这些部分直接连接组成整个数字。如果有一位是 0 则跳过这一位不写。
- 每一位内，通过表示这一位 1 、 5 、 10 的数字以固定方式排列构成这一位。规则见下表 2 。其中 4 ， 9 为符值相减记数法，其他均为符值相加记数法。
| I | V | X | L | C | D | M |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 10 | 50 | 100 | 500 | 1000 |
| 千位 | 百位 | 十位 | 个位 | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | M | C | X | I |
| 2 | MM | CC | XX | II |
| 3 | MMM | CCC | XXX | III |
| 4 | CD | XL | IV | |
| 5 | D | L | V | |
| 6 | DC | LX | VI | |
| 7 | DCC | LXX | VII | |
| 8 | DCCC | LXXX | VIII | |
| 9 | CM | XC | IX |
如 3 写作 III ， 7 写作 VII ， 14 写作 XIV ， 1999 写作 MCMXCIX ， 2002 写作 MMII 。需要注意在标准形式中，表示 1999 时按照 1000+900+90+9 表述为 M、CM、XC、IX 。
非标准形式
- 在较早时， 4 的位置常使用符值相加记数法，即 IIII 、 XXXX 、 CCCC ，特别是 IIII 作为序号或者在钟表上十分常见；9 也偶尔也使用相加记数法，即 VIIII 等。
- 在一些较罕见的情况下，会出现 IIIII 和 IIIIII 以及对应的 XXXXX 和 XXXXXX 。
- 偶尔出现 IIX 和 XXC 这种多个的相减记数法，以及 IC 、 IIC 、 IIIC 这种跨级的相减记数法。特别是如果书写者的惯用语言中表达这些数字时使用这种构词逻辑，可能受其影响使用这种写法。
- 在历史上，非标准数字形式可能和标准形式混合出现，即使是同一条规则，如罗马斗兽场上 44 号门上写的是 XLIIII 。
零
罗马数字不是位值制，与其他符值制的记数法一样不使用符号记录跳过的数位。也没有专门通用的符号表达数字 0 。
分数
罗马人通常使用文字表达分数，没有发展出一套数字的分数表示。仅仅存在一些以 1/12 为单位的分数记号。
需要注意的是分数使用的符号不是十进制，而且只用相加记数法。
| S | · |
|---|---|
| 1/2 | 1/12 |
大数表达
由于生活中很少用到足够大的数，大数的表达并不是一致的，有两种主要方法。
apostrophus 符号
在 I 的两侧增加 C 和反 C （Ↄ，称为 apostrophus ），表示更大的数字。这些数字有一个缩略记号，有观点认为可能是 IↃ 缩略成了 D ， CIↃ 缩略成的 ↀ 演变成了 M 。但也有观点认为使用 M 是受到 mille （千）首字母的影响，或两种原因同时存在。
| 数值 | apostrophus 记号 | 缩略记号 |
|---|---|---|
| 100 | C | |
| 500 | IↃ | D |
| 1000 | CIↃ | ↀ,M |
| 5000 | IↃↃ | ↁ |
| 10000 | CCIↃↃ | ↂ |
| 50000 | IↃↃↃ | ↇ |
| 100000 | CCCIↃↃↃ | ↈ |
括线
主要有两种修饰方式：
- 在普通的罗马数字上方加上划线，称为括线(vinculum)，表示数字被乘以 1000 。
- 在普通的罗马数字左、上、右三面的半包围划线表示数字被乘以 10 0000 （十万）。
标准表达（大数）
标准形式中接受上括线表示大数。比如标准形式中表达 4000 时，可以表达为 [math]\displaystyle{ \mathrm{M\overline{V}} }[/math] 或 [math]\displaystyle{ \mathrm{\overline{IV}} }[/math] 。
| 记数系统 | ||||
|---|---|---|---|---|
| 位值制 记数法 |
进位制记数法/标准位值制记数法（进制） | 二进制、八进制、十进制、十六进制、…… | ||
| 非标准 位值制 记数法 |
符号数字 进位制记数法 |
平衡进位制记数法 （平衡进制） |
平衡三进制、…… | |
| 双射进位制记数法 （双射进制） |
双射十进制、双射二十六进制、…… | |||
| 位权是幂 但基数不是自然数 （非自然数进制） |
[math]\displaystyle{ -2 }[/math] 、 [math]\displaystyle{ -4 }[/math] 、…… | |||
| [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt{3} }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt[12]{2} }[/math] 、…… | ||||
| [math]\displaystyle{ 2i }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt[4]{2}i }[/math] 、 [math]\displaystyle{ 2\omega }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \sqrt[3]{2}\omega }[/math] 、 [math]\displaystyle{ -1\pm i }[/math] 、…… | ||||
| 位权不是幂 | 存在基数 （混合进制） |
二五混合进制、阶乘进制、…… | ||
| 广义位值制记数法 | [math]\displaystyle{ p }[/math]-进数 | |||
| 质数记数法、…… | ||||
| 符值制记数法 | （双射）一进制、罗马记数法、希腊记数法、…… | |||