投影映射

投影映射
术语名称	投影映射
英语名称	projection map
别名	projection, 自然投影, natural projection

投影映射(projection map)指从多个集合的笛卡尔积上，将其中元素（元组）映射到这一元素在其中某个集合上的分量的映射。

也用于指一般地，从一个积结构到组成其的某结构上的映射。

定义

投影映射
对象名称	投影映射
对象记号	[math]\displaystyle{ \mathrm{proj}_i }[/math]
Latex	\mathrm{proj}_i
对象类别	映射

投影映射
函数名称	投影映射
函数符号	[math]\displaystyle{ \mathrm{proj}_i }[/math]
Latex	\mathrm{proj}_i
类型	满射
定义域	[math]\displaystyle{ X_1 \times X_2 \times \dots \times X_i \times \dots \times X_n }[/math]
陪域	[math]\displaystyle{ X_i }[/math]

对集合 [math]\displaystyle{ X_1, X_2, \dots , X_n }[/math] ，给定其中任意集合 [math]\displaystyle{ X_i }[/math] ，则映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{proj}_i: X_1 \times X_2 \times \dots \times X_n \to X_i; (x_1, x_2, \dots, x_n) \mapsto x_i }[/math] 称为笛卡尔积 [math]\displaystyle{ X_1 \times X_2 \times \dots \times X_n }[/math] 的第 [math]\displaystyle{ i }[/math] 分量上的投影映射(the [math]\displaystyle{ i }[/math]-th projection map)，统称投影映射。

也记作 [math]\displaystyle{ \pi_i }[/math] 。

由于自然映射的英文名称 natural projection，有时也会被叫做投影映射。投影映射有时也会被叫做自然投影。另外如果只说投影，不一定仅限于这两种意义。

显然，投影映射总是满射。

映射
定义属性	定义域、陪域、值域
特殊映射	空映射、常值映射、恒等映射[math]\displaystyle{ \mathrm{id}_\bullet }[/math]、包含映射[math]\displaystyle{ \iota }[/math]
类型	单射、满射、双射
运算	复合[math]\displaystyle{ \circ }[/math]、迭代[math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]、逆映射（反函数）[math]\displaystyle{ \bullet^{-1} }[/math]、限制、延拓

元组
特殊元组	0-元组 [math]\displaystyle{ () }[/math]
生成	笛卡尔积、多元谓词、多元映射、多元函数
运算	投影映射 [math]\displaystyle{ \operatorname{proj} }[/math]
	相等关系 [math]\displaystyle{ = }[/math]

琐事

广义上，自然映射或投影映射指从积结构到其中某集合上的投影的映射。