与非

与非
术语名称	与非
英语名称	non-conjunction
别名	谢费尔竖线, Sheffer stroke, alternative denial, NAND

与非(non-conjunction)是二元逻辑联结词，表示“两个命题不同时为真”的逻辑关系。

定义

与非
运算名称	与非
运算符号	[math]\displaystyle{ \uparrow }[/math]
Latex	\uparrow
运算对象	命题公式
运算元数	2
运算结果	命题公式

对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math] ，记命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 满足：

• 当 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 同时为真时，[math]\displaystyle{ P \uparrow Q }[/math] 为假；
• 若 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为假， [math]\displaystyle{ R }[/math] 为真。
• 若 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 为假， [math]\displaystyle{ R }[/math] 为真。

称这样的命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 为命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 与命题 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 的与非(non-conjunction)，记为 [math]\displaystyle{ P \uparrow Q }[/math] ，读作 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 的与非([math]\displaystyle{ P }[/math] nand [math]\displaystyle{ Q }[/math])。 其中逻辑联结词 [math]\displaystyle{ \mathop{\uparrow} }[/math] 称为与非词或 Sheffer 竖线(Sheffer stroke)。

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字符	↑
Unicode码位	U+2191 Upwards Arrow
Latex命令序列	\uparrow

与非的其他常见记号有 [math]\displaystyle{ P \mathop{|} Q }[/math] （Sheffer 竖线得名自这一记号）或 [math]\displaystyle{ P \barwedge Q }[/math] 。

真值表

与非的真值表定义如下：

[math]\displaystyle{ \uparrow }[/math] 的真值表

[math]\displaystyle{ p }[/math]	[math]\displaystyle{ q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \uparrow q }[/math]
T	T	F
T	F	T
F	T	T
F	F	T

性质

• 等价表示
  • 表达为合取的否定：对任意命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math] ， [math]\displaystyle{ P \uparrow Q = \lnot (P \land Q) }[/math] 。
  • 表达为否定的析取：对任意命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math] ， [math]\displaystyle{ P \uparrow Q = \lnot P \lor \lnot Q }[/math] 。
• 函数完备性：与非构成的集合是函数完备集，可以单独表达所有逻辑联结词。
• 运算性质
  • 不满足结合律。
  • 交换律：[math]\displaystyle{ P \uparrow Q = Q \uparrow P }[/math] 。
  • 特殊值
    • [math]\displaystyle{ P \uparrow P = \lnot P }[/math] 。
    • [math]\displaystyle{ P \uparrow \mathrm{T} = \lnot P }[/math] 。
    • [math]\displaystyle{ P \uparrow \mathrm{F} = \mathrm{T} }[/math] 。

命题逻辑/零阶逻辑
基本概念	命题	命题、命题变元、命题常量
	真值	真 [math]\displaystyle{ \mathrm{T} }[/math]/[math]\displaystyle{ 1 }[/math]/[math]\displaystyle{ \top }[/math] 、假 [math]\displaystyle{ \mathrm{F} }[/math]/[math]\displaystyle{ 0 }[/math]/[math]\displaystyle{ \bot }[/math]
命题结构	命题结构	原子命题、复合命题
	逻辑联结词	否定（非） [math]\displaystyle{ \lnot }[/math] 、合取（且/与） [math]\displaystyle{ \land }[/math] 、析取（或） [math]\displaystyle{ \lor }[/math]
		蕴涵（推出） [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math] 、等价（当且仅当） [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]
命题公式	形式定义	命题语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_0 }[/math] 、命题公式
	逻辑语义	指派、 Tarski 真理定义、解释、真值表、满足
	语义分类	重言式/永真式、偶然式/仅可满足式/可真可假式、矛盾式/永假式/不可满足式
	语义关系	重言等价/等值/等价 [math]\displaystyle{ = }[/math]/[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] 、重言蕴涵 [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]
	范式	析取范式、合取范式（主析取范式、主合取范式）

逻辑联结词
零元
真值表			[math]\displaystyle{ \bot }[/math]								[math]\displaystyle{ \top }[/math]
			T								F
名称			真 [math]\displaystyle{ \top }[/math]								假 [math]\displaystyle{ \bot }[/math]
二进制编号			0								1
编号			0								1
一元
真值表	[math]\displaystyle{ p }[/math]		[math]\displaystyle{ \bot }[/math]				[math]\displaystyle{ \lnot p }[/math]				[math]\displaystyle{ p }[/math]				[math]\displaystyle{ \top }[/math]
	T		F								T
	F		F				T				F				T
名称			假 [math]\displaystyle{ \bot }[/math]				否定（非） [math]\displaystyle{ \lnot }[/math]				（恒等映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{id} }[/math]）				真 [math]\displaystyle{ \top }[/math]
缩写			-				NOT				-				-
二进制编号			00				01				10				11
编号			0				1				2				3
二元
真值表	[math]\displaystyle{ p }[/math]	[math]\displaystyle{ q }[/math]	[math]\displaystyle{ \bot }[/math]	[math]\displaystyle{ p \bar{\vee} q }[/math] [math]\displaystyle{ p \downarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \nleftarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ \lnot p }[/math]	[math]\displaystyle{ p \nrightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ \lnot q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \oplus q }[/math] [math]\displaystyle{ p \nleftrightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \barwedge q }[/math] [math]\displaystyle{ p \uparrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \land q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \leftrightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \rightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p }[/math]	[math]\displaystyle{ p \leftarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \lor q }[/math]	[math]\displaystyle{ \top }[/math]
	T	T	F								T
		F	F				T				F				T
	F	T	F		T		F		T		F		T		F		T
		F	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T
名称			假 [math]\displaystyle{ \bot }[/math]	或非 [math]\displaystyle{ \downarrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \bar{\vee} }[/math]	-	否定 非 [math]\displaystyle{ \lnot }[/math]	-	否定 非 [math]\displaystyle{ \lnot }[/math]	互斥析取 异或 [math]\displaystyle{ \oplus }[/math]/[math]\displaystyle{ \nleftrightarrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \veebar }[/math]	与非 [math]\displaystyle{ \uparrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \barwedge }[/math]	合取 且/与 [math]\displaystyle{ \land }[/math]	等价 当且仅当 [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]	投影映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{proj}_2 }[/math]	蕴涵 推出 [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math]	投影映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{proj}_1 }[/math]	-	析取 或 [math]\displaystyle{ \lor }[/math]	真 [math]\displaystyle{ \top }[/math]
缩写			-	NOR	-	NOT	NIMPLY	NOT	XOR	NAND	AND	XNOR EQV	-	IMPLY	-	-	OR	-
二进制编号			0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
编号			0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15