等值（逻辑）

等值
术语名称	等值
英语名称	equivalence
别名	等价, 重言等值, 重言等价, tautological equivalence, 逻辑等值, 逻辑等价, logical equivalence, logical biconditional

等值(equivalence)或重言等值、重言等价(tautological equivalence)指两个命题公式在任意指派下的真值都对应相同。 换句话说，两个命题公式等值当且仅当它们具有相同真值表。

重言等值是逻辑等价在命题逻辑中的简化形式，故有时也称为逻辑等价。

定义

等值
关系名称	等值
关系符号	[math]\displaystyle{ = }[/math],[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math],[math]\displaystyle{ \equiv }[/math]
Latex	=, \Leftrightarrow, \equiv
关系对象	命题公式
关系元数	2
类型	等价关系

对两个命题公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math] ，其中成员命题变元均为 [math]\displaystyle{ P_1,P_2,\dots,P_n }[/math] ，则两个命题公式存在 [math]\displaystyle{ 2^n }[/math] 个不同指派。 若这 [math]\displaystyle{ 2^n }[/math] 个指派下，公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的真值都对应相同，则称命题公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math] 等值/等价(equivalent)或重言等价(tautologically equivalent)，或称命题公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math] 是等值公式(equivalent formulas)，记作 [math]\displaystyle{ A=B }[/math] 或 [math]\displaystyle{ A \Leftrightarrow B }[/math] 、 [math]\displaystyle{ A \equiv B }[/math] 。

注：一般为了避免与等式中的等词 [math]\displaystyle{ = }[/math] 混淆、避免与部分材料中用 [math]\displaystyle{ \equiv }[/math] 代替等价 [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math] 的用法混淆，标准场景大多使用符号 [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] 。本 wiki 为输入方便以及与代数系统等领域的主题保持一致，在不引起歧义的情况下均使用 [math]\displaystyle{ = }[/math] 。

性质

• 两命题公式等值，当且仅当两命题公式有相同的真值表。
• 等值定理：两命题公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math] 等值，当且仅当双条件命题 [math]\displaystyle{ A \leftrightarrow B }[/math] 为永真式。
• 等值关系是一种等价关系：
  • 自反性：任意命题公式与自身等值。
  • 对称性：任意命题公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 和 [math]\displaystyle{ B }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ A=B }[/math] 则 [math]\displaystyle{ B=A }[/math] 。
  • 传递性：任意命题公式 [math]\displaystyle{ A }[/math] 、 [math]\displaystyle{ B }[/math] 、 [math]\displaystyle{ C }[/math] ，若 [math]\displaystyle{ A=B }[/math] 且 [math]\displaystyle{ B=C }[/math] 则 [math]\displaystyle{ A=C }[/math] 。

常见等值律

单独分类：分类:命题逻辑常见结论

其中， [math]\displaystyle{ P,Q,R }[/math] 为命题变元， [math]\displaystyle{ \mathrm{T},\mathrm{F} }[/math] 为真值常量真和假。

• 幺元律 [math]\displaystyle{ P\land\mathrm{T}=P,P\lor\mathrm{F}=P }[/math] ；
• 支配律 [math]\displaystyle{ P\land\mathrm{F}=\mathrm{F},P\lor\mathrm{T}=\mathrm{T} }[/math] ；
• 幂等律、重言律 [math]\displaystyle{ P\land P=P,P\lor P = P }[/math] ；
• 双重否定律 [math]\displaystyle{ \lnot\lnot P = P }[/math] ；
• 交换律 [math]\displaystyle{ P\land Q=Q\land P, P\lor Q=Q\lor P }[/math] ；
• 结合律 [math]\displaystyle{ (P\land Q)\land R=P\land(Q\land R),(P\lor Q)\lor R=P\lor(Q\lor R) }[/math] ；
• 分配律 [math]\displaystyle{ P\land(Q\lor R)=(P\land Q)\lor(P\land R),P\lor(Q\land R)=(P\lor Q)\land(P\lor R) }[/math] ，由交换律对另一侧也成立；
• 德·摩根律 [math]\displaystyle{ \lnot(P\land Q) = \lnot P \lor \lnot Q, \lnot(P\lor Q) = \lnot P \land \lnot Q }[/math] ；
• 吸收律 [math]\displaystyle{ P\land(P\lor Q)=P,P\lor(P\land Q)=P }[/math] ，由交换律对另一侧也成立；
• 否定律 [math]\displaystyle{ P\lor\lnot P=\mathrm{T} }[/math] （排中律）、 [math]\displaystyle{ P\land\lnot P=\mathrm{F} }[/math] （矛盾律）。

命题逻辑/零阶逻辑
基本概念	命题	命题、命题变元、命题常量
	真值	真 [math]\displaystyle{ \mathrm{T} }[/math]/[math]\displaystyle{ 1 }[/math]/[math]\displaystyle{ \top }[/math] 、假 [math]\displaystyle{ \mathrm{F} }[/math]/[math]\displaystyle{ 0 }[/math]/[math]\displaystyle{ \bot }[/math]
命题结构	命题结构	原子命题、复合命题
	逻辑联结词	否定（非） [math]\displaystyle{ \lnot }[/math] 、合取（且/与） [math]\displaystyle{ \land }[/math] 、析取（或） [math]\displaystyle{ \lor }[/math]
		蕴涵（推出） [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math] 、等价（当且仅当） [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]
命题公式	形式定义	命题语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_0 }[/math] 、命题公式
	逻辑语义	指派、 Tarski 真理定义、解释、真值表、满足
	语义分类	重言式/永真式、偶然式/仅可满足式/可真可假式、矛盾式/永假式/不可满足式
	语义关系	重言等价/等值/等价 [math]\displaystyle{ = }[/math]/[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] 、重言蕴涵 [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]
	范式	析取范式、合取范式（主析取范式、主合取范式）