蕴涵

蕴涵
术语名称	蕴涵
英语名称	implication
别名	实质蕴涵, material implication, 实质条件, material conditional

蕴涵式
术语名称	蕴涵式
英语名称	implicative formula
别名	条件式, conditional formula

假言命题
术语名称	假言命题
英语名称	hypothetical proposition
别名	条件命题, conditional proposition

前件
术语名称	前件
英语名称	antecedent
别名	条件, protasis

后件
术语名称	后件
英语名称	consequent
别名	结论, apodosis

蕴涵(implication)是二元逻辑联结词，表示“如果前者（称为前件）为真，则后者（称为后件）必须为真”所对应的命题。

定义

蕴涵
运算名称	蕴涵
运算符号	[math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math]
Latex	\rightarrow
运算对象	命题公式
运算元数	2
运算结果	命题公式

对命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Q }[/math] ，记命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 满足：

• 仅当 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为真同时 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 为假时， [math]\displaystyle{ R }[/math] 为假；
• 若命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 为假， 命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 为真；
• 若命题 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 为真， 命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 为真。

称这样的命题 [math]\displaystyle{ R }[/math] 为命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 构成的假言命题(hypothetical proposition)或条件命题(conditional proposition)，记为 [math]\displaystyle{ P \rightarrow Q }[/math] ，读作[math]\displaystyle{ P }[/math] 推出 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 或 [math]\displaystyle{ P }[/math] 蕴涵 [math]\displaystyle{ Q }[/math]([math]\displaystyle{ P }[/math] implies [math]\displaystyle{ Q }[/math])。 其中逻辑联结词 [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math] 称为蕴涵词， [math]\displaystyle{ P }[/math] 称为假言命题的前提或前件(antecedent)， [math]\displaystyle{ Q }[/math] 称为假言命题的结论或后件(consequent)。

蕴涵的其他常见记号有 [math]\displaystyle{ P \supset Q }[/math] 和 [math]\displaystyle{ P\Rightarrow Q }[/math] 。

主联结词为蕴涵词的公式称为蕴涵式(implicative formula)或条件式(conditional formula)。

真值表

[math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math] 的真值表

[math]\displaystyle{ p }[/math]	[math]\displaystyle{ q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \rightarrow q }[/math]
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

性质

• 等价表示
  • 表达为否定、合取、析取的组合：对任意命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math] ， [math]\displaystyle{ P\rightarrow Q = \lnot P \lor Q = \lnot(P\land \lnot Q) }[/math] 。
  • 其否定 [math]\displaystyle{ \nrightarrow }[/math] 也有：对任意命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math] ， [math]\displaystyle{ P\nrightarrow Q = P \land\lnot Q = \lnot(\lnot P\lor Q) }[/math] 。
• 运算性质
  • 逆否命题：对任意命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 和 [math]\displaystyle{ Q }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ P \rightarrow Q = \lnot Q \rightarrow \lnot P }[/math] 。
  • 传递性：对任意命题 [math]\displaystyle{ P }[/math] 、 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 和 [math]\displaystyle{ R }[/math] ，有 [math]\displaystyle{ (P \rightarrow Q) \land (Q \rightarrow R) \rightarrow (P\rightarrow R) }[/math] 。
  • 特殊值
    • [math]\displaystyle{ \mathrm{T} \rightarrow P = P }[/math] 。
    • [math]\displaystyle{ P \rightarrow \mathrm{T} = \mathrm{T} }[/math] 。
    • [math]\displaystyle{ \mathrm{F} \rightarrow P = \mathrm{T} }[/math] 。
    • [math]\displaystyle{ P \rightarrow \mathrm{F} = P }[/math] 。

不同逻辑系统中的蕴涵

以上为经典逻辑中的蕴涵：蕴涵是真值函数的，完全由真值表定义。

• 直觉主义逻辑中，蕴涵与可证明性相关，也就是要求 [math]\displaystyle{ P\rightarrow Q }[/math] 为真当且仅当存在从 [math]\displaystyle{ P }[/math] 到 [math]\displaystyle{ Q }[/math] 的构造性证明，而不仅仅是符合真值表。
• 不承认某些经典逻辑中的蕴涵相关定理。

多元情况

蕴涵词不具有结合性，二元运算不能直接定义出一个多元运算，一般不认为有哪个多元联结词是蕴涵词的直接扩展。 一般多个蕴涵词连用时，需要使用括号说明结合顺序。 若不说明，一般默认蕴涵词是右结合的，即 [math]\displaystyle{ P\rightarrow Q\rightarrow R }[/math] 指的是 [math]\displaystyle{ P\rightarrow(Q\rightarrow R) }[/math] 。

命题逻辑/零阶逻辑
基本概念	命题	命题、命题变元、命题常量
	真值	真 [math]\displaystyle{ \mathrm{T} }[/math]/[math]\displaystyle{ 1 }[/math]/[math]\displaystyle{ \top }[/math] 、假 [math]\displaystyle{ \mathrm{F} }[/math]/[math]\displaystyle{ 0 }[/math]/[math]\displaystyle{ \bot }[/math]
命题结构	命题结构	原子命题、复合命题
	逻辑联结词	否定（非） [math]\displaystyle{ \lnot }[/math] 、合取（且/与） [math]\displaystyle{ \land }[/math] 、析取（或） [math]\displaystyle{ \lor }[/math]
		蕴涵（推出） [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math] 、等价（当且仅当） [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]
命题公式	形式定义	命题语言 [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_0 }[/math] 、命题公式
	逻辑语义	指派、 Tarski 真理定义、解释、真值表、满足
	语义分类	重言式/永真式、偶然式/仅可满足式/可真可假式、矛盾式/永假式/不可满足式
	语义关系	重言等价/等值/等价 [math]\displaystyle{ = }[/math]/[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow }[/math] 、重言蕴涵 [math]\displaystyle{ \Rightarrow }[/math]
	范式	析取范式、合取范式（主析取范式、主合取范式）

逻辑联结词
零元
真值表			[math]\displaystyle{ \bot }[/math]								[math]\displaystyle{ \top }[/math]
			T								F
名称			真 [math]\displaystyle{ \top }[/math]								假 [math]\displaystyle{ \bot }[/math]
二进制编号			0								1
编号			0								1
一元
真值表	[math]\displaystyle{ p }[/math]		[math]\displaystyle{ \bot }[/math]				[math]\displaystyle{ \lnot p }[/math]				[math]\displaystyle{ p }[/math]				[math]\displaystyle{ \top }[/math]
	T		F								T
	F		F				T				F				T
名称			假 [math]\displaystyle{ \bot }[/math]				否定（非） [math]\displaystyle{ \lnot }[/math]				（恒等映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{id} }[/math]）				真 [math]\displaystyle{ \top }[/math]
缩写			-				NOT				-				-
二进制编号			00				01				10				11
编号			0				1				2				3
二元
真值表	[math]\displaystyle{ p }[/math]	[math]\displaystyle{ q }[/math]	[math]\displaystyle{ \bot }[/math]	[math]\displaystyle{ p \bar{\vee} q }[/math] [math]\displaystyle{ p \downarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \nleftarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ \lnot p }[/math]	[math]\displaystyle{ p \nrightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ \lnot q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \oplus q }[/math] [math]\displaystyle{ p \nleftrightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \barwedge q }[/math] [math]\displaystyle{ p \uparrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \land q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \leftrightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \rightarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p }[/math]	[math]\displaystyle{ p \leftarrow q }[/math]	[math]\displaystyle{ p \lor q }[/math]	[math]\displaystyle{ \top }[/math]
	T	T	F								T
		F	F				T				F				T
	F	T	F		T		F		T		F		T		F		T
		F	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T	F	T
名称			假 [math]\displaystyle{ \bot }[/math]	或非 [math]\displaystyle{ \downarrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \bar{\vee} }[/math]	-	否定 非 [math]\displaystyle{ \lnot }[/math]	-	否定 非 [math]\displaystyle{ \lnot }[/math]	互斥析取 异或 [math]\displaystyle{ \oplus }[/math]/[math]\displaystyle{ \nleftrightarrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \veebar }[/math]	与非 [math]\displaystyle{ \uparrow }[/math]/[math]\displaystyle{ \barwedge }[/math]	合取 且/与 [math]\displaystyle{ \land }[/math]	等价 当且仅当 [math]\displaystyle{ \leftrightarrow }[/math]	投影映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{proj}_2 }[/math]	蕴涵 推出 [math]\displaystyle{ \rightarrow }[/math]	投影映射 [math]\displaystyle{ \mathrm{proj}_1 }[/math]	-	析取 或 [math]\displaystyle{ \lor }[/math]	真 [math]\displaystyle{ \top }[/math]
缩写			-	NOR	-	NOT	NIMPLY	NOT	XOR	NAND	AND	XNOR EQV	-	IMPLY	-	-	OR	-
二进制编号			0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
编号			0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15