对偶范畴

对偶范畴(opposite category)指一个范畴反转全部箭头得到的新范畴。

定义

对范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] ,记范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C}^\mathrm{op} }[/math] ：

对象类 [math]\displaystyle{ \mathrm{Obj}(\mathscr{C}^\mathrm{op}) =\mathrm{Obj}(\mathscr{C}) }[/math] ；
从对象 [math]\displaystyle{ A }[/math] 到 [math]\displaystyle{ B }[/math] 的态射集合 [math]\displaystyle{ \mathrm{Hom}_{\mathscr{C}^\mathrm{op}}(A, B) }[/math] ，每个元素 [math]\displaystyle{ f^\mathrm{op}: A\to B }[/math] 都是一个原范畴中的一个态射 [math]\displaystyle{ f: B\to A }[/math] ，即 [math]\displaystyle{ \mathrm{Hom}_{\mathscr{C}^\mathrm{op}}(A, B) = \mathrm{Hom}_{\mathscr{C}^\mathrm{op}}(B, A) }[/math] 。
合成规则定义为 [math]\displaystyle{ g \circ^\mathrm{op} f = f \circ g }[/math] 。

称这样的范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C}^\mathrm{op} }[/math] 为范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] 的对偶范畴(opposite category)。