锥范畴、余锥范畴

请注意，这个条目所介绍的术语没有标准称呼。仅仅是为了便于描述建立条目取了一个名字。

锥范畴(cone category)指对一个范畴中的一组对象，有一个范畴包括指向它们的锥和这些锥中的对象间相差的态射。其中对象是全体可能的锥，箭头是按原范畴中态射间合成关系的有共用边的双三角形交换图中的态射。

余锥范畴(cocone category)类似地，指对一个范畴中的一组对象，有一个范畴包括离开它们的余楔和这些余楔中的对象间相差的态射。对象是全体可能的余楔，箭头是按原范畴中态射间合成关系的有共用边的双三角形交换图中的态射。

锥范畴和余锥范畴都继承原范畴中的恒等关系及合成规则，且描述这两个对象附近共同的数据。

对于对象只有一个的情况，参见切片范畴、余切片范畴； 对于对象只有两个的情况，参见楔范畴、余楔范畴。

定义

锥范畴

对范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] ，有指标范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{J} }[/math] 和函子 [math]\displaystyle{ F: \mathscr{J}\to \mathscr{C} }[/math] ，记范畴：

• 对象类 [math]\displaystyle{ \{Z|Z \in \mathrm{Obj}(\mathscr{C}), \forall i \exists f_i \in \mathrm{Hom}_\mathscr{C}(Z, F(i))\} }[/math] ；
• 从 [math]\displaystyle{ Z_1 }[/math] （态射为 [math]\displaystyle{ f_{1i} }[/math] ）到 [math]\displaystyle{ Z_2 }[/math] （态射为 [math]\displaystyle{ f_{2i} }[/math] ）的态射集为全体使得构成的以下图可交换的态射 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] 。

称这样的范畴为范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] 到函子 [math]\displaystyle{ F }[/math] 的锥范畴(cone category)，也说在 [math]\displaystyle{ \mathscr{J} }[/math]-图上方的锥范畴。

注：没有特别通用的记号。

余楔范畴

对范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] ，有指标范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{J} }[/math] 和函子 [math]\displaystyle{ F: \mathscr{J}\to \mathscr{C} }[/math] ，记范畴：

• 对象类 [math]\displaystyle{ \{Z|Z \in \mathrm{Obj}(\mathscr{C}), \forall i \exists f_i \in \mathrm{Hom}_\mathscr{C}(F(i), Z) }[/math] ；
• 从 [math]\displaystyle{ Z_1 }[/math] （态射为 [math]\displaystyle{ f_{i1} }[/math] ）到 [math]\displaystyle{ Z_2 }[/math] （态射为 [math]\displaystyle{ f_{i2} }[/math] ）的态射集为全体使得以下图可交换的态射 [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] 。

称这样的范畴为范畴 [math]\displaystyle{ \mathscr{C} }[/math] 从函子 [math]\displaystyle{ F }[/math] 处的余锥范畴(cocone category)，也说在 [math]\displaystyle{ \mathscr{J} }[/math]-图下方的锥范畴。

注：没有特别通用的记号。

说明

锥范畴就是原范畴中所有有指向这组对象态射、在这这组对象公共的“上方”的全部对象，按照原范畴中这些对象之间的态射构成的范畴。余锥范畴就是公共的“下方”。

范畴、态射
基本概念	范畴	态射、交换图
态射	单态射、满态射	双态射
	分裂单态射、分裂满态射（收缩、截面）	同构
泛在结构、泛性质
终端对象	始对象、终对象	零对象、零态射
泛在结构	切片范畴、余切片范畴	-
	楔、余楔·楔范畴、余楔范畴	积、余积
	锥、余锥·锥范畴、余锥范畴	极限、余极限
	-	等化子、余等化子
	-	核、余核