群直积
| 直积 | |
|---|---|
| 术语名称 | 直积 |
| 英语名称 | direct product |
群的直积(direct product of groups)是在两个群笛卡尔积上构造的新群。也可以推广到任意个群上。
定义
| 群直积 | |
|---|---|
| 运算名称 | 群直积 |
| 运算符号 | [math]\displaystyle{ \times }[/math] |
| Latex | \times
|
| 运算对象 | 群 |
| 运算元数 | 2 |
| 运算结果 | 群 |
| 结构 | 交换半群
|
对群 [math]\displaystyle{ \langle G,\bullet \rangle }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \langle H,\circ \rangle }[/math] ，记集合 [math]\displaystyle{ G\times H }[/math] 上的二元运算 [math]\displaystyle{ \cdot: ((g_1, h_1), (g_2, h_2)) \mapsto (g_1 \bullet g_2, h_1 \circ h_2) }[/math] ，可以证明 [math]\displaystyle{ \langle G\times H, \cdot \rangle }[/math] 是一个群，称为群 [math]\displaystyle{ \langle G,\bullet \rangle }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \langle H,\circ \rangle }[/math] 的直积(direct product)，也简记为 [math]\displaystyle{ G\times H }[/math] 。
这一定义可以推广到任意无限集合列甚至任意指标集的笛卡尔积上，即对集族 [math]\displaystyle{ \{G_i\}_{i\in I} }[/math] ，其中下标为 [math]\displaystyle{ i }[/math] 的集合是关于运算 [math]\displaystyle{ \bullet_i }[/math] 的群，则有其笛卡尔积 [math]\displaystyle{ \prod_{i\in I} G_i }[/math] 关于在任意第 [math]\displaystyle{ i }[/math] 个分量上满足 [math]\displaystyle{ (f \cdot g)(i) = f(i) \bullet_i g(i) }[/math] 的运算 [math]\displaystyle{ \cdot }[/math] 构成一个群。
注：在有限个交换群间的直积也常记作 [math]\displaystyle{ G\oplus H }[/math] ，但这只是因为交换群中群直积和群直和是相同的，借用了后者的符号。
性质
在群 [math]\displaystyle{ \langle G\times H, \cdot \rangle }[/math] 中：幺元为各自幺元组成的有序对 [math]\displaystyle{ (e_G, e_H) }[/math] ；逆元是各自逆元组成的有序对，即 [math]\displaystyle{ (g,h)^{-1,\cdot}=(g^{-1,\bullet}, h^{-1,\circ}) }[/math] ；元素的阶满足 [math]\displaystyle{ \operatorname{ord}_{\langle G\times H, \cdot \rangle}((g, h)) = \operatorname{lcm}(\operatorname{ord}_{\langle G, \bullet \rangle} (g), \operatorname{ord}_{\langle H, \circ \rangle} (h)) }[/math] 。
代数结构
在同构意义下，群的直积满足交换律和结合律，且有平凡群作为幺元。
对循环群，由于循环群同构于模 n 剩余类加法群，可以进一步得到 [math]\displaystyle{ (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})\times(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}/\operatorname{lcm}(m,n)\mathbb{Z} }[/math] 的关系，如果互质就同构于 [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/mn\mathbb{Z} }[/math] ，其中的对应关系就是中国剩余定理。
子群结构
群 [math]\displaystyle{ \langle G,\bullet \rangle }[/math] 、 [math]\displaystyle{ \langle H,\circ \rangle }[/math] 有两个子群 [math]\displaystyle{ G' = G\times\{e_H\} = \{ (g,e_H) \mid g\in G \} }[/math] 和 [math]\displaystyle{ H' = \{e_G\}\times H = \{ (e_G,h) \mid h\in H \} }[/math] ，两个子群交集处的子群就是平凡群 [math]\displaystyle{ \{(e_G,e_H)\} }[/math] ，两个子群间可交换，且群中的任意元素 [math]\displaystyle{ (g,h) }[/math] 都能被唯一分解为两个子群中的元素 [math]\displaystyle{ (g,e_H)\in G' , (e_G,h)\in H' }[/math] 。
或者说，群 [math]\displaystyle{ G\times H }[/math] 是群 [math]\displaystyle{ G',H' }[/math] 的内直积。
范畴论性质
群的直积是群范畴中的积，因此满足以下泛性质：对群 [math]\displaystyle{ G,H }[/math] 及从任意群 [math]\displaystyle{ K }[/math] 到这两个群的群同态 [math]\displaystyle{ \varphi: K\to G, \psi: K \to H }[/math] ，都存在唯一一个群同态 [math]\displaystyle{ \chi: K\to G\times H }[/math] 满足
[math]\displaystyle{ \pi_G \circ \chi = \varphi, \pi_H \circ \chi = \psi }[/math]
或者说使下图可交换：
[math]\displaystyle{ \begin{array}{rcl} && G \\ & {\small\varphi}\nearrow& \uparrow{\small\pi_G} \\ K & \xrightarrow{\exists!\chi} & G\times H \\ & {\small\psi}\searrow& \downarrow{\small\pi_H} \\ && H \\ \end{array} }[/math]
这一结论可推广为任意积。