完全关系

完全关系
术语名称	完全关系
英语名称	connected relation
别名	全关系, 完备关系, 连通关系, complete relation, total relation

完全关系(complete/total relation)或连通关系(connected relation)是指一个集合上的二元关系中，任意两个不同元素间都存在不计顺序关系的关系。 也就是说，要求任意不同的元素对都不计顺序地相关。

定义

对集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 上的二元关系 [math]\displaystyle{ R }[/math]，若 [math]\displaystyle{ \forall a \forall b (a \neq b \rightarrow a R b \lor b R a) }[/math]，称关系 [math]\displaystyle{ R }[/math] 是集合 [math]\displaystyle{ A }[/math] 上的一个完全关系(connected/complete/total relation)，也称这一关系是完全的(connnected/complete/total)。

性质

• 完全关系的关系图中，任意两个不同的顶点之间至少存在一条有向边。忽略边的方向，应是一张完全图
• 完全关系的关系矩阵中，除对角线外，所有对称位置的一对元素中至少有一个为 1
• 每个全序关系都是完全关系

关系/二元关系
定义属性	前域、后域、定义域 [math]\displaystyle{ \operatorname{dom} }[/math]、值域 [math]\displaystyle{ \operatorname{ran} }[/math]、域 [math]\displaystyle{ \operatorname{fld} }[/math]
特殊关系	空关系 [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math]、恒等关系 [math]\displaystyle{ I }[/math]、全关系 [math]\displaystyle{ A\times B }[/math]
类型	自反、反自反、对称、反对称、传递
运算	基础运算	交 [math]\displaystyle{ \cap }[/math]、并 [math]\displaystyle{ \cup }[/math]、补 [math]\displaystyle{ \bar{\bullet} }[/math]、差 [math]\displaystyle{ \setminus }[/math]
	函数性运算	对偶（转置、逆） [math]\displaystyle{ \bullet^\mathrm{T}/\bullet^{-1} }[/math]、复合 [math]\displaystyle{ \circ }[/math]（幂 [math]\displaystyle{ \bullet^n }[/math]）、限制 [math]\displaystyle{ \bullet_{|\bullet} }[/math]